初等代数研究练习题

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1、初等代数研究练习题一、填空题1、已知三次多项式f(x)在x=-1,0,1,2时函数值分别为1,2,3,2,则f(x)=。2、多项式表示成（x-1）的幂的多项式的形式为。3、已知。4、=。5、六本不同的书，按下列条件分配，各有多少种不同的分法（1）分给甲乙丙三人，每人2本，则有种分法。（2）分成三份，每份2本，则有种分法。6、线性规划问题中决策变量应满足的条件称为__________________.7、将线性规划问题的一般形式化为标准形式时，若第r个约束条件为，则引入____________变量08、使目标函数达到_______________的可行解称为最优解。

2、9、若原线性规划中有n个变量，则其对偶规划中一定有_____________个方程。10、用单纯形法解线性规划问题时，若检验数有负，则要进行______________。二、计算题1、设得值2、计算的值。3、解方程4、设正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的一点，如图，若△APQ的周长为2，求∠PCQ。5、设正方体ABCD—A1B1C1D1的边长为a，试求B到平面AB1C的距离。6、用单纯性法解线性规划问题maxS=80+4520+540015+104500,0三、证明题1、在△ABC中，D为BC的中点，过D作一直线分别与AC、AB的延长线交于E、

3、F。求证：82、正方形ABCD中E是CD的中点，F是DA的中点，连接BF、CF，它们相交于P，如图所示，求证：AP=AB3、设f(x)是以R为定义域的函数，且对任意的，均满足f(x+y)=f(x)+f(y)求证：（1）f(0)=0;f(-x)=-f(x)（2）当（3）当四、简答1、将线性规划问题化为标准形式无非负限制2、如果某线性规划问题的约束方程组为-+=4-+3=8写出该问题的所有基阵与基本解，并判断是否是基本可行解。初等代数研究练习题答案一、填空题1、2、3、4、15、（1）90；（2）156、约束条件7、松弛8、最大值9、n10、换基迭代三、计算题1、解：

4、由tanα=2知sinα=2cosα8α=于是原式=2、解：令α=arccot（），则παππ，πχπcotα=，tanα=于是cosα=所以原式=cos3、解：原方程可化为（1）x≥1时，方程为解得所以x=1（2）πχπ1时，方程为解得此时方程无解（3）时，方程为解得所以（4）解得所以综上知，方程的解为，，14、将△CDQ绕点O旋转90°至△CBQ如图则有△CQD≌△CBQ’，则有CQ=CQ’①DQ=BQ’②因为△APQ的周长为2，所以有PQ=PB+DQ③故由②③PQ=PQ’因此由①④及PC公边有△CPQ≌△CPQ’则∠PCQ=8∠PCQ’而∠QCQ’=90°∠

5、PCQ=45°。5、解：我们先证明BD1⊥平面AB1C事实上因ABCD—A1B1C1D1为正方体，则DD1⊥平面ABCD。因此DD1⊥AC又因ABCD为正方形AC⊥BD而DD1和BD相交所以，AC⊥平面BDD1BD1在平面BDD1上因此BD1⊥AC同理BD1⊥AB1所以BD1⊥平面AB1C设垂足为H，由于易知△AB1C必为等边三角形，故易知H为△AB1C的中心，连接BH，则∠BHB1=90°由于AB1=B1C=CA=a则B1H=AB1=a=a所以BH=a这就是B到平面AB1C的距离。6、解：（1）将此线性规划问题化为标准形式maxS=80+4520+5+=4001

6、5+10+=450,,,0（2）进一步化为典式形式maxS20+5+=40015+10+=450S-80-45=0，，，0（3）用下列表格表示上式82020510400151001450S-80-45000得基可行解（4）进行换基迭代由于min{-80,-45}=-80,因此入基由于min{}=,所以出基这时20为主元，将20框出把表中第一列除20以外都化为0，后把20变为1102001150S0-25401600迭代后，新基变量为，，而非基变量为，令==0，得新基可行解由于检验数仍有负数，重复上面工作-25是系数，则入基又min{,}=,则出基，为主元对上表施行

7、行初等变换得10140124S00142200令==0，得基可行解8（5）此时检验数均为正数，故为最优解，最优值为2200三、证明题1、证明：过C引EF的平行线交AB的延长线于G，则由EF∥CG得（1）而BD=DC，故BF=FG代入（1）式得2、证明：连接BF得Rt△ABF再过A作AP的垂线交CF的延长线于G，又得到Rt△APG∵AFPB内接于圆∴∠1=∠2∴∠3=∠4又∵∠3=∠5=∠6∴∠4=∠6∴AF=AG∴△ABF≌△APG∴AB=AP3、证明：（1）令x=y=0，则f(0)=2f(0)所以f(0)=0令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)所以f(-

8、x)=-f