总结：角的平分线的性质及判定(好用)

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1、角的平分线的性质及判定思维启动如图1，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m．图1问题：现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花．知识导航：1、学会用尺规作一个角的平分线，利用三角形全等证明并发现角的平分线的点到角的两边的距离相等，（简记：一平分、两垂直，距相等）并运用这个结论进行相关的证明．　　用几何符号语言表示：如图1，　　∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，　　∴PD=PE．　角平分线的判定方法：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．也就是说，一个点只要到角的两边距离相等，那么这个点一

2、定在这个角的平分线上．　　用几何符号语言表示：如图1，　　∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，　∴点P在∠AOB的平分线上．2、本课的难点是尺规作图时体会规范的作图语句的作用．同时要注意：（1）性质中的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等．如图1中，如果没有PD⊥OA，PE⊥OB，那么就不能得到PD=PE．（2）本性质也可用来证明线段、角的相等．（3）区分清楚性质和判定，几何语言的用法所以要注意克服用全等三角形证线段、角相等的思维定势．　-18-综合探究探究一应用角平分线性质证明线段相等------

3、--------------性质如图2，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证：CF＝EB．图21．要证CF＝EB，可以证明哪两个三角形全等？___________________________________________________．2．这两个三角形是什么三角形？已知什么？还需要证明什么？___________________________________________________．3．还需证明的结论成立吗？为什么？____________________________________

4、_______________．4．讨论总结：根据以上的分析，本题的证明过程应该怎么书写呢？变式1．已知，如图BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D，求证：PM＝PN。变式2.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:BE=CF.-18-变式3.如图所示，是的平分线，，垂足为，，垂足为，且．ＤＥＢＡＦＣ求证：．图3探究二应用角平分线性质证明两角互补如图3，AC平分∠BAD，CD＝CB，AB＞AD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．求证：∠CBA＋∠ADC＝180．1．由于∠CDF＋∠

5、ADC＝180，要证∠CBA＋∠ADC＝180，只需证明哪两个角相等？为此要证哪两个三角形全等？___________________________________________________．2．怎样证明1中的两个三角形全等？________________________________________________________________________．3．讨论总结：在利用角平分线性质解题时，应注意步骤的完整性，不要漏掉什么？_________________________________________________________

6、_______________．-18-练习：如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。求证：∠BAP＋∠BCP=180°。图4探究三证明角的平分线-------------------------判定如图4，△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线相交于点P，PD⊥BM于点D，PE⊥BN于点E．求证：BP为∠ABC的平分线．1．过P点作PF⊥AC，交AC于点F．由PA是∠MAC的平分线可以得到什么？PC是∠NCA的平分线又可以得到什么？____________________________________________

7、___________________________________________________________．2．通过等量代换，可以得到哪两条垂线段相等？_________________________________________________________________________．3．讨论总结：写出本题的证明过程．-18-变式1：已知：如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD交BE于E．求证：AE平分∠FAC．变式2：已知：如图，BE=CF，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC．变式3：如图，在

8、∠AOB的两边OA，OB