指数分布的无记忆型

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1、从开始讲分布到这一期，差不多常用的那几个分布都点到了，想起来还有一个蛮重要的分布就是指数分布（我们也常常把它称作寿命分布）没提到。作为连续场合分布大军里的一员，自然是不能漏了他的，这一期，主角是指数分布，配角是泊松过程，路人甲——几何分布。在概率论和统计学中，指数分布是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况（可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1

2、的特殊分布），产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布，它的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。若随机变量服从参数为的指数分布，则记为.一个指数分布的概率密度函数是：其中λ>0是分布的一个参数，常被称为率参数（rateparameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。累积分布函数可以写成：可以看到λ的值越大，曲线的斜率变化越快。指数分布具有很好的性质，比如：随机变量X(X的率参数是λ）的期望值是：1/λ；方差是（1/λ2）。想起那个配角泊松过程了么？它和这个配角有什么关系？泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现

3、的时间间隔服从指数分布。这是因为，第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+1次随机事件出现的概率等于1减去这个时间段内没有随机事件出现的概率。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+1次随机事件出现的概率等于，这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。无记忆性——该怎么理解呢？楼主在网上看到一个网友的思考，觉得挺有意思的——一个身患了艾滋病的病人时时刻刻都受着死亡的威胁，随时都有死亡的可能性。但是在他患病以后至少活时间k的概率与他活了时间n后再活时间k的概率是完全一致的。而且正如离散事件——投篮次数不会由于前n次投

4、不中就会增加或减少后面投篮的命中率一样，此时也不会因为病人活了时间n还没死就会影响到他再继续活下去的可能性大小。故而，不难说出指数分布是“永远年轻”的。人生中，很多时候我们总是对过去的失败耿耿于怀。这种经历使我们不敢面对现实，如果我们能从指数分布受到启发，运用“无记忆性”原则，那么我们的今天和明天将会更加美好。因为即使我们人生中的S小时已经失败，但我们面前的成功仍然还有S+T，和我们S小时前的成功几率一样。一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。请注意是"独立事件"，泊松分布和指数分布的前提是，事件之间不能有关联，否则就不能运用上面的

5、公式。