二倍角的正弦、余弦和正切公式(基 础)

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1、二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式

2、中，只有当及时才成立；(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：；2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：第10页要点二：二倍角公式的逆用及变形1．公式的逆用；．．．2．公式的变形；降幂公式：升幂公式：要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解

3、、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1．化简下列各式：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．第10页【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）．（2）．（3）．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形

4、式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．第10页【答案】【解析】方法一：．∴方法二：原式．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系

5、，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若，则．举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．【解析】原式．类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3．化简下列各式：(1)【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）（2）【解

6、析】(1)(2)第10页【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．例4．化简：．【解析】原式．【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．举一反三：【变式1】（1）的化简结果是．（2）已知，且α∈(，π)，则的值为．【答案】（1）（2）【解析】（1）原式====（2）因为，且α∈(，π)，所以，原式=第10页．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用例5．求值：（1）已知，求．（2）已知，求．

7、【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）（2）【解析】（1）===（2）===【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．举一反三：【变式1】已知，且，求，，的值．【答案】【解析】由，得，第10页即，∴由，得，∴．即．整理得．解得或（舍去）．∴．∴．【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．【变式2】已知，（1）求tan的值；（2）求的值．【解析】（1），解得．（2）．【总结升华】第（1）问中利用了方程的思想求ta

8、n的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求