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《 2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版第06讲数学归纳法（讲）【解析版】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第六章数列第06讲数学归纳法（讲）1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2.高考预测：利用数学归纳法证明数列问题.3.备考重点:（1）数学归纳法原理；（2）数学归纳法的简单应用.知识点1．数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【
2、典例1】（2019·浙江嘉兴一中高一期中）已知数列满足,．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（Ⅲ）设，数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）且,是以3为首项，为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：,下面用数学归纳法证明（1）当时,（2）假设当时,,当时,,即当时,结论成立，由（1）（2）得,（Ⅲ）因为【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：
3、由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【变式1】（2018·浙江余姚中学高考模拟）设,对于，有.（1）证明：（2）令,证明：（I）当时，（II）当时，【答案】（1）见解析;（2）（I）见解析;（II）见解析.【解析】（1）若，则只需证只需证成立只需要证成立，而该不等式在时恒成立…故只需要验证时成立即可，而当时，均满足该不等式.综上所得不等式成立.（2）、（I）当时，用数学归纳法很明显可证当时，有;下证：,只需要
4、证,只需证只需证,只需证,只需证.由（1）可知，我们只需要证,只需证,只需证.当时该不等式恒成立当时，，故该不等式恒成立综上所得，上述不等式成立（II）、当时，用数学归纳法很明显可证当时，有下证：只需证:,只需证：只需证：,只需证：只需证：,……同理由（2）及数学归纳法，可得该不等式成立.综上所述，不等式成立考点1利用数学归纳法证明等式【典例2】已知a，b，c，使等式N+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2
5、=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+
6、2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．【易错提醒】数学归纳法的注意事项由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.【变式2】已知数列中，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】(I）；（II）见解析.【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜
7、想，注意数学归纳法的步骤.试题解析：(1）；（2）猜想：证明：①当n=1时，，猜想成立.②假设n=k时成立，即，则当n=k+1时，由得所以n=k+1时，等式成立.所以由①②知猜想成立.考点2利用数学归纳法证明不等式【典例3】（2018届浙江省温州市高三9月一模）已知数列中，，（）． （1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时，，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（
8、3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证
