简单的几何体

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1、第九章直线、平面、简单的几何体一、空间的直线与平面§9.1平面的基本性质一.平面的表示方法二.平面的基本性质三.公理的推论四.空间图形在平面内的表示方法一.平面的表示方法1.平面几何是研究同一平面内的点、线所构成的图形；平面的概念：平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念（1）数学中所说的平面在空间是无限伸展着的（直线是无限延伸的）平面把空间分成两部分；（2）平时接触到的平面实例都只是平面的一部分；4.平面的表示方法：用平行四边形表示平面1)水平放置的平面;(2)非水平放置的平面;5.如何理解“平面四边

2、形表示的平面是无限延展的”？这是因为立体几何中表示平面是采用“用有限的图形表示无限的平面”的方法．事实上，如果一条直线上有两个点在一个用平行四边形表示的平面内，根据公理1,这条直线上所有的点都落在这个平面内．而直线是无限延伸的，倘若这个平面是有限的，那么无限的直线上的所有点怎么能都在有限平面内呢？对于平面的概念注意从三个方面加深理解：无边界性、无限延展性、无厚薄性．符号语言把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以:符号:点在直线上,记作,点在平面内,记作,直线在平面内,记作.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所

3、有的点都在这个平面内．公理1二:平面的基本性质实例:当一直尺的边缘上任意两点放在平的桌面上时,可以看到直尺的边缘就落在桌面上.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理2实例:相邻两墙壁面相交公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面实例:(1)两个合页,一把锁(2)自行车的撑脚三.公理的推论(一)复习提问:1.平面的基本性质有那几条?2.确定平面的条件是什么?3.过一点、二点、在同一直线上的三点有多少个平面?4.过四点有多少个平面?（三）公理的推论推论1经过一条直线和直线

4、外一点有且只有一个平面.BCAL推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面求证：过点A和直线a可以确定一个平面所以经过点A和直线a有且只有一个平面唯一性:如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么A∈β，B∈β，因为B∈α，C∈α，所以B∈β，C∈β.(公理1)故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面β重合.(公理3)2.推论2经过二条相交直线有且只有一个平面.ABC推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面证明：设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C的点A和点B，点A，B，C是不在同一条

5、直线上的三点（否则与a、b为两条相交直线矛盾）由公理3，过A、B、C三点有且只有一个平面α，因为a、b各有两点在平面α内，所以直线a、b在α内，因此过直线a、b有平面α。因为点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、b的平面内。由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个，过直线a、b的平面只有一个。3.推论3经过二条平行直线有且只有一个平面.A推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面证明：设直线a、b满足a平行于b，由平行线的定义，直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平面α。设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A和

6、直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1，过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只有一个。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（三）有关概念共面：如果空间几个点或几条直线都在同一个平面内.2.平面图形:如果构成图形的所有点都在同一平面内.立体图形:如果构成图形的所有点不都在同一平面内.4.点、线、平面之间的关系（用集合语言描述）.（1）点A在直线L上A表示为：（2）直线L在平面内.表示为：（3）直线与相交于点A.A表示为：表示

7、为：（3）直线L与平面相交于点A.AL（4）平面与平面相交于直线L.L表示为：返回四.空间图形在平面内的表示方法（一）直观图把空间图形在平面内画得既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置和度量关系。（二）画法1.斜二测画法的规则：（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴OX、OY，画直观图时，把它画成对应的轴、，使（或135°）（2）已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于Y轴的线段长度为原来的一半.2.画图的要求（1）在作平行线时,要求用两块三角板画.(2)写作法时,基本语句要写清楚、正确。（三）例题1.画水平放

8、置的正六边形的直观图.XYHG1.画水平放置的正五边形的直观图.XYHGF3.画棱长为2cm的正方体的直观图.X′Y′Z′（三）画法1.斜二测画法的规则：（1）在已知图形中取水平