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1、含参数导数的解题策创黄年(甘隶省白银市第九屮修,甘潇白银730913)导数是研究函数性质的一种重耍工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其屮渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常作为高考的压轴题,对考牛的能力耍求非常高,它不仅耍求考牛牢固掌握基础知识、基本技能,述耍求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点,本文着重就含参数导数的儿种常见的解题策略加以归纳.一、分离参数,转化为最值策略在给岀的不等式屮,如果能通过恒等变形分离出参数,即
2、:若a>f(x)恒成立,只须求出f(x),则a>f(x);若a1都有/(x)>ax-1,求实数a的取值范围.解:(I)略.(IDV对所有x>l都有f(x)>ax-l,/.对所有x>1都有xx>ax-,即a0),只需a3、x)>0<=>x>l,g'(x)<0<=>04、最大值.解:(I)略.r(ID令f*(%)=0,解得兀]=0,兀2=寸•当—<0,即*0时,/⑴在[0,2]上单调递增,从而/max=/(2)=8-4a.当—>2时,即«>3吋,/(切在[0,2]上单调递减,从而fmix=f(0)=0.当。<¥<2,即0vczv3,于(兀)在上单调递减,在L3JL3J上单调递增,从而/.ax8-4«,02.三、导函数为0是否存在,分类讨论策略求导后,考虑导函数为零是否冇实根(或导函数的分了能否分解因式)
5、,涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导两数是二次函数或者与二次函数有关,令△二0,求分点,从而引起讨论.例3、已知函数f(x)=x2-x+ax,(a丘R),讨论/(x)在定义域上的单调性.解:由已知得/'(兀)=2兀一1+纟=竺二^,(兀>0),XX(1)当4=1一8。50,f,(x)>0恒成立,fg在(0,+Q上为增函数.8(2)当4=1—8a〉0,a<-时,81)05专时,>0,/⑴在[1-J1-8a1+a/1-8a2,2上为减函数,/(x)在(0,1一48。],严山_8",+00)上
6、为增函数,2)当avO时,Hu<0,故/(切在[oJ+Jl-8a〕上为减函数,.f(x)在["+:一加,+°°)上为增函数.综上当a>-吋,.f(x)在(0,+oo)上为增函数.8当时,心在[上导,土导]上为减函数,/(兀)在(0,1上为增苗数,当。<0时,于(兀)在(0,1+牛呵上为减函数,f(切在[11牛色,+°°)上为增函数.四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略求导后,导函数为零冇实根(或导函数的分了能分解因式),导函数为零的实根也落在定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,
7、通过令儿个根相等求分点,从而引起讨论.例4、已知加>0,讨论函数/⑴二也厂+%"+])兀+加+6的单调性.解:广(x)=——―,设^(x)=-mx2-(m+3)x-3,令g(x)=0,ez3得X]=9兀2=_[■m1)当00,即广(兀)>0,所以/(兀)在区间(—一1)上是增函数;mm2)当m=3时,Xj=x2,在区间(-oo,-l
8、),(-l,+oo)上g(兀)v0,即/'(%)<0,又/(兀)在X=1处连续,所以/(X)在区间(-00,+X)上是减函数;33)当m〉3时,>x2,在区间(-oo-l),(-—,+oo)±g(兀)<0,即广(QvO,m所以/(X)在区间(-00-1),(一2,+00)上是减函数;m33在区间(-1,-—)±,g(兀)>0,即fx)>0,所