高考导数解题策略

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1、2010年高考导数、函数专题策略分析（一）厦门双十中学高中部郭俊芳一、近六年福建省高考对导数、函数考查类型统计2005福建19以一次函数除以二次函数为背景，考查导数在求曲线切线斜率、判断单调性的应用2006福建192119题以应用题建模后是二次函数与反比例函数的和为背景，考查导数在求函数最值的应用；21题以lnx与二次函数两个函数为背景，考查导数在研究函数图象的作用，实质是最值的应用2007福建22（压轴）以与一次函数的差为背景，考查导数在求函数单调性、最值的应用2008福建1922（压轴）19题以三次函数为背景，考查导数在求函数极值的应用。22题以ln(1+x)与一

2、次函数的差为背景，考查导数在判断单调性的应用2009福建20（压轴）20题以三次函数为背景，考查导数在求函数单调性、极值、图像的应用，导数在求曲线切线斜率的应用。2010福建20（压轴）以三次函数为背景，考查导数在求函数单调性、求曲线的切线斜率、与定积分交汇命题求面积的应用。二、典型高考题案例分析类型一、三次函数背景的考查例1.2005山东（19）（本小题满分12分）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（Ⅲ）当时，函数图象上任意一点切线的斜率都大于3m，求实数m的取值范围。解:(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（

3、I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即①设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以即的取值范围为.例2.（2009全国Ⅰ22题，压轴题，满分12分）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：预备知识：（1）二次函数根的分布；（2）线性规划作可行域的求解；（3）参数的消元分类讨论能力；（4）对多参数的主元和参数的识别能力。解析：（1）由题意知方程有两个根由知是极大值点，是极小值

4、点。则有故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)=0，，则　．令又所以恒成立，在单调递减，即又。变形1：求函数的取值范围。，恒成立，在单调递减，即又。变形2：设函数在两个极值点，且且函数y=f(x)与y=k有三个交点，求实数k的取值范围。显然时，函数y=f(x)与y=k有三个交点，又，，。例3.（2007年全国Ⅱ押轴题）已知函数．（1）求曲线y=f(x)在点处的切线方程；（2）设，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：．背景函数是不含参数的三次函数。解析：（1）．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，由（1）的结论知则

5、存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．评析：有三条切线转化为方程有三解，进而转化为研究函数图像与x轴的交点有三个。方程有三个相异的实数根．记，则方程g(t)=0有三解。变化情况如下表：由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根，此时有一条切线；当时，解方程得，方程只有两个相异的实数根，此时有两条切线；当时，

6、解方程得，此时有两条切线当即．此时有三条切线。利用《几何画板》作出点P在不同的位置运动时，所作的切线有1条，2条，3条不同的可能。右图是有三条切线的片段。例4.（2009福建理科）20、（本小题满分14分）已知函数,且.(1)试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M(,)，N(,)，P(),,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m(,x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n,f(n)),x1n

7、(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）.背景函数是含两个参数的三次函数，其导数是含两个参数的二次函数。一定要分类讨论。预备知识：设函数，以a>0为例研究1．系数a,b,c,d与极值点的关系研究极值点函数解析式导函数解析式系数满足条件草图零个，两个研究结果：三次函数极值点有两种可能，无极值点或有两个极值点。2．分类研究上述两种情况（1）当极值点数为零个，可挖掘研究函数对称中心这个素材，这里不再展开；（2）当极值点数为两个，可挖掘割线、切线与曲线的交点、位置关系作为研究性学习的素材。3．若三次函数的草图如右，其本质特点是有