假设法解题的思维策略

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1、假设法解题的思维策眸摘要：假设法是研究问题，探求真理的方式和途径，在数学上有着广泛的应用。本文拟在假设法解数学问题的思维策略方面做一些探讨。关键词：假设法；假设思想；思维策略一、假设的思维特色1、假设法在数学的发展中起着重要作用。诸如不完全归纳法、数学归纳法、分析法、反证法、反例法等常用的数学思想方法都以“假设”为桥梁，或特殊假设，或一般假设、或正设、或反设、思维迥异,独具匠心成为贯穿数学思想方法的一条主线。2、假设使数学思维超越传统。假设使著名的鸡兔同笼问题“今有鸡、兔若干，它们共50个头和140只脚，问鸡、兔各多少？”出现下面奇特现象:所有的鸡都抬起一只脚，所有兔都只有后脚站起来

2、,于是此时脚的数目（原来的一半）减去头的数目就是兔子的数目。可见，以假设法解题，其突出的优点是能使模糊的、抽象的数量关系变得具体而实在，有时大胆的假设，往往能使问题化繁为简，化难为易,其思维超越传统，简捷新颖，巧妙诱人。二、假设的思维策略假设思想作为人们洞察世界的能力和智慧的高度表现，具有很强的思维价值，“恰当的假设，等于发现的一半”。因此，假设法解题就必须讲究假设的思维策略。1、整体假设利用题设与结论Z间的关系从整体着眼，把和关数据的整体设为一个字母（或一个式子或一个数量），从而求出问题结果。例1、logj&2期2畅的值(A是…)。解：设log?乌2顷T=x则2Z二町2顷7111J

3、_=2^x2预x2而0・・・x2莎・・・(丄丄亠•亠•)=2ioloolooonr1=2?则故原式咤驰顷Z=*。2、反面假设有些数学问题的反面情形较为简单，可假设出其反面情形促使问题获解。例2lL^Uf(x)=x2+px+q求证：/⑴

4、>

5、/(2)

6、>

7、/(3)

8、屮至少有一个不小于苏证明：反证法，设

9、/(1)

10、、

11、/(2)

12、、

13、/(3)

14、都小于+,贝9

15、/(1)

16、+

17、/⑵

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19、几3)

20、<2

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22、+2

23、/(2)

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25、>

26、/(1)+/⑶—2/⑵

27、=

28、(1+°+q)+(9+3p+g)_2(4+2p+训=2产生矛盾，故原命题成立。3、冲突假设有些数学问题，可以假设某种情况，经过

29、推理则与实际情况相悖或与定理、已知矛盾，这吋以假设为突破口，找出原因消除矛盾，解决问题。例3、A、B、C三个学生参加英语竞赛，赛前A估计得分最高的是B,而B、C都估计自己的得分不会最高，结果三个学生估计有一个是正确的，那么谁得分最高？解：假设A最高，则B与C的估计都对，这与只有一个学生估计正确相悖，则A不是最高。假设B最高，则A与C都估计正确与估计正确的唯一性相悖，则B不是最高。用排除法，则C得分最高。4、特殊假设对难以获解的一般性数学问题，可以假设其特殊情形，以此帮助问题获解。例4、如图(上面)已知长方形的三个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)一质点从AB的

30、屮点Po沿与AB夹角9的方向射到BC上的点Pi后依次反射到CD、DA、AB上的点巳、P3、Pi,设P4坐标为(x4,0),若IVX4<2则tanO的取值范围是：A(

31、,1)B(

32、,

33、)▲進冷)0(2

34、)y—c解：假设％4=1,则tan0=1,而1VX4<2,所以tan0工*从选择题中观察得答案C.该题是2003年全国高考试题，正面求解很费吋，特殊假设迅速简洁。5、对称假设对具有对称或轮换对称特点的数学问题，不妨假设相关量的某种顺序情形，使问题获解。例5、（W•Janous猜想）设x、y、刁是正数，求证:222y—X+Z—yz+xx+y证明：该不等式关于x、y、Z是轮换对称，故假设y2

35、x,z^x从而22229?y-兀+Z+%2_z2z+x%+yy+z、,2/丄/”222二y-z+z-X

36、Z—y十z+xx+yy+z=(y2-乙2)0-z)+(/—z2)(x—y)20(z+x)(x+y)(x+z)(y+z)故原不等式成立。6、增量假设有些数学问题，可以假设出某一个（或多个）量的增加量，从而使问题获解。例6、小明对叔叔说：“叔叔，我到您现在这么大岁数时，您就35岁了”，叔叔说：“我像你这么大时，你只有2岁”，叔叔、小明今年各多少岁？分析：该题是小学奥数的一道练习题，直接列方程不易完成，但叔叔与小明的年龄差是常数。解：假设叔叔与小明年龄差为M,由第一句话知，叔叔增加一个M

37、,就35岁了，由第二句话知，小明向前减少一个M,就只有2岁了，则叔叔35岁等于3M+2,M为11岁，由此可知叔叔，小明现在各24岁、13岁。另外在数学上经常还用到辅助假设、存在假设、还原假设等，笔者就不敖述了。总之，假设法是数学研究的基本技术之一，它是人类发明创造探求真理的阶梯，整个科学发展史证明，没有假设就没有科学理论，我们一定要善于运用假设思想，提出问题，解决问题。［参考文献］:1、《中学数学教材法》高等教育出版社，十三院校协编组。2、《高中数学重点与