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1、二项式定理—.知识梳理1.二项式定理：{a+by=cy+C]nan-]b+…+Crnan-rbr+…+C；；b"(nwNj,2.基本概念：①二项式展幵式：右边的多项式叫做⑺+by的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数C；(厂=0,1,2,…,H).③项数：共(厂+1)项，是关于。与b的齐次多项式④通项：展幵式中的第厂+1项Crnan~rbr叫做二项式展开式的通项。用7；.+1=Crnan~rbr表示。3.注意关键点：①项数：展开式中总共有⑺+1)项。②顺序：注意正确选择0",其顺序不能更改
2、。⑺+厅与(方+d)"是不同的。③指数：Q的指数从斤逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐项减到刃，是升幕排列。各项的次数和等于④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C：；,C；,C；,…,C：,…,C：.项的系数是Q与b的系数(包括二项式系数)。4.常用的结论：令G=1,/?=兀，(14-X)"=C：；++C：X"HFHF(/?GN、)令cz=l,b=—兀，(1—x)"=C：[—C；兀+C^x~—…+C；x，+…+(—1)"C"x"(nwN*)5•性质：①二项式系数的对称性：
3、与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即②二项式系数和：令a=h=,则二项式系数的和为变形式C：+C；+・.・+C：+・・・+C；：=2“-l。②奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a=l9b=-l9则C：：—C：+C；—
4、^+ci^x~+…+anxn（x+ci）n=C》a°x"+Ccixl1+C^ct~xn2H—+C；；a"x°=c"+…+ci^x1+ci^+d（）令兀=1,贝（Jd。+G
5、++他•—Cln—（CI+l）77（D令兀=—1,贝肱。—坷+ci2—ciyHcin=（a_1）"②①+②得卫。+°2+%・・+色」°+以：匕j）“（奇数项的系数和）①-②得4+色+@・・・+色=@+"'_«7"（偶数项的系数和）n④二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数〃是偶数时，则中间一项的二项式系数C?取得最大值。如果二
6、顷式的幕指数斤是奇数时，则中间两项的二项式系数”一1”+1cj：C,同时取得最大值。⑤系数的最大项：求（G+加）"展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各顶系数分别[&.+I>4为£,儿,・・・，4小，设第厂+1项系数最大，应有，从而解出厂来。14+1<外+2二题型分析1、二项式定理的逆用；例：C；+C：•6+C：•62+…+C；；•6"T=练习：C；+3C；+9C；+・・・+3"TC；二.2、利用通项公式求疋的系数；例：求（*-丄尸展开式中兀°的系数？2x练习：在二项式G+V7)m的展
7、开式中倒数第3项的系数为45,求含有%3的项的系数？3、利用通项公式求常数项；例：求二项式(〒+诺)”的展开式中的常数项？练：求二项式(2%-—)6的展开式中的常数项？2xr1练：若u2+-r的二项展开式中第5项为常数顷，则斤=.3、利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式(、/7-奴)9展开式中的有理项？4、最大系数，最大项；例：若展幵式前三项的二项式系数和等于79,求(
8、+2x)w的展开式中系数最大的项？解：由C：〕+C；+C；=79,解出川=12,假设匚]项最大，v(
9、+2x)12=
10、(
11、),2(1+4x)12，化简得到9.45厂510.4,Xv0C17,4-1A+V人+2—[久4、6丁4川・•・r=10,展开式中系数最大的项为绪，有几=(
12、),2C^4,0x,0=16896x10练：在(l+2x)10的展开式中系数最大的项是多少？5、系数和问题例：已矢口(1一2兀)了=兔+4尤+。2兀2+…+如兀7，求：(1)4+血+6十…+如；⑵Q]+他+；(3)兔+勺++^6•6、多项问题例：(1)求(l-x)3(l+x)10展开式中/的系数；(2)求
13、(兀+丄+2)6展开式中的常数项.的展开式的常数项为-20,求八7、整除余数问题例：利用二项式定理证明：32,,+2-8/1-9是64的倍数.练：（1）230-3除以7的余数:（2）55^+15除以8的余数是8、区分系数和二项式系数例：（1+2兀）“的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.2练：已知（0+3兀丁的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992・（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.三、巩固练习1、在U-
