代數問題幾何建模策略

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1、代數問題幾何建模策略摘要:利用代數問題的幾何信息，建立模型，給出一些代數問題的解題策略關鍵詞:代數問題幾何建模策略中圖分類號:G642文獻標識碼:A文章編號:1672-3791(2011)09(a)-0202-01代數問題幾何建模是根據代數命題蘊含的特征或性質，運用適當數學變換，將代數命題表述為等價的幾何命題,再借助幾何直觀性探尋解題途徑，從而解答代數命題的一種方法。運用這種方法解題，必須審清題意，挖掘明顯或隱含的條件，找到恰當的切入點，進行聯想、類比，進而轉化題目I:已知a,b,c,d為正數,,ac=bd,>

2、j<證a=d,b=c建模策略:從題目本身出發，尋求解答難以找到突破口，註意到,如果把a,b,c,d分別看作兩個直角三角形的直角邊,，分別表示這兩個直角三角形的斜邊的平方，建立如圖1幾何模型。利用RtABC與RtADC相似得其全等,AB=AD,BC=CD,即a=d,b=c題目II:求的最小值,a、b、c是正數建模策略:表達式與兩點間距離公式很相似，可將其看作動點M(x、o)到兩定點A(o,a),B(c,-b)的距離的和,則隻有這三點共線時才可能最小,由平面內三點共線的充要條件或者由三點共線知KMA=KAB,易得,

3、代入原式化簡得當且僅當時，取得該值可見，代數問題幾何建模策略構思精巧，不僅能化繁為簡，化抽象為直觀，而且能觸類旁通,鍛煉思維能力，增強學習興趣。其關鍵在於尋找有效的數形結合模型，一般思路是(圖2)1平面幾何建模就是為代數問題建立平面幾何模型，像題目I代數中的等式和不等式反映出來的是線段間的等量或不等量關系,根據這一特征，可用比較基本的知識點(如直角三角形、相似三角形的有關知識，平行線、的切割線、相交弦、射影定理，三角形的邊角不等關系，面積總量等於各面積分量之和等)對某些代數問題建立幾何模型。最常見有如下基本模型

4、2解析曲線建模題目V:解方程建模策略:將原式變形為取y2=4,則有這恰是以(4,0)、(11,0)為焦點,8為實長軸,中心在(6,0)的雙曲線方程。由雙曲線定義可得雙曲線方程為，代y2=4於方程得，即為所求的方程解這種經變形可轉化為解析曲線中的某些線量的代數問般利用解析曲線的性質求解，其幾何建模常見的有:三點共線(如題目II),不同方程表爾同一曲線値線斜率相等(題目II),兩點間距離、錐曲線的定義及其性質等3直曲交軌建模這是一種最常用的方法。它要根據錐曲線與直線的位置關系及其所反映的性質來探求解答思路題目VI:

5、求函數的定義值域建模策略:構造直線L:s=yt,使t=x+2,,則s2=t-1（s>0）<與L有公共點P（x+2,）的拋物線弧M,作圖（圖3）並由圖知,當直線L在第一象限且處於t軸與相切時的切線之間時丄和M才有公共部分因ltt,O0相切的切線方程為,這種策略需要根據己知條件或命題的特征，構造過定點的直線和曲線方程,然後利用它們所表示的關系（相切、相交、共同圍成的區域、距離等）來進行幾何論證。常用於求極植和值域（特別是求無理函數的）4其他類型

6、還可用於數列（特別是等差數例它的通項公式和前幾項和公式與直線二次曲線表達式很相似）、方程根的討論（用作圖法求交點個數）和比較大小等問題上。代數問題的幾何建模策略遠不止這些，很有挖掘的必要通過上述討論，不難發現，代數問題本身的復雜性、開放性以及應用者知識經驗是其局限性所在。盡管如此，它作為開發智力、鍛煉創造件思維能力，仍有特別的價值。