材料力学第3章扭转

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1、第三章扭转材料力学1§3–1概述§3–2薄壁圆筒的扭转§3–3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3–4等直圆杆在扭转时的应力·强度分析§3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件§3–6等直圆杆在扭转时的应变能§3–7非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形§3–8开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力和变形第三章扭转2扭转§3–1概述扭转变形：a）工程中有一类等直杆，所受外力是作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶，这时发生的变形为扭转变形。B）单纯发生扭转的杆件不多，但以扭转为主要变形的很多。C）若杆件的变形以扭转为主，而其它变形可忽略，则可按扭转变形进行强度和刚度计算。特征：1）外力的

2、合力为一力偶，2）力偶的作用面与直杆的轴线垂直。ABOmmOBA3工程实例例如：机器中的传动轴、水轮发动机主轴、石油钻机中的钻杆等。4由于使直杆发生扭转的外力，是作用面垂直于杆件轴线的外力偶系，在这种外力偶作用下，杆件表面的纵向线将变成螺旋线（即发生扭转变形）。简单计算简图如图所示当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可以用材料力学的方法求解。对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，不能用材料力学的方法求解。5相比而言，等直圆杆扭转时的应力和变形比较复杂，等直薄壁圆筒扭转时的应力和变形则简单得多。在求解等

3、直圆杆扭转时的应力和变形前，有必要先研究薄壁圆筒的扭转，介绍有关切应力、切应变及其关系等基本概念（扭转变形中的胡克定律）。薄壁圆筒扭转时的应力和变形分析是求解等直圆杆扭转时的应力和变形的基础。§3–2薄壁圆筒的扭转6设一薄壁圆筒的壁厚远小于其平均半径r0（r0/10），其两端面承受产生扭转变形的外力偶矩Me。由截面法，圆筒任一横截面n-n上的内力将是作用在该截面上的力偶（b），该内力偶矩称为扭矩，用T表示。横截面上的应力与微面积dA的乘积的合成等于截面上的扭矩，横截面上的应力只能是切应力（？因杆无伸长或压缩）。§3–2薄壁圆筒的扭转7为得到沿横截面圆周上各点处切应力的变

4、化规律，可在圆筒表面画上等间距的圆周线和纵向线，形成一系列方格子。在圆筒两端施加外力偶矩Me后，可发现圆周线保持不变，而纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持为直线（大变形时为螺旋线）。因此可设想薄壁圆筒扭转变形后，横截面仍保持为大小、形状都无改变的平面，相邻的两个横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上（不仅是圆周！）各点处的切应力的方向必与圆周相切。8mmOBA扭转角（）：圆筒两端横截面之间绕轴线相对转动而发生的角位移。切应变（）：圆筒表面上每个格子的直角都改变了相同角度，该直角的改变量称为切应变。9单位长度的扭转角与杆的长度无关。但与材料性质，扭矩、截面几何

5、性质有关。切应变与横截面上沿圆周切线方向的切应力相对应。由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等，且根据材料连续性假设，可推知沿圆周各点处的切应力不仅方向与圆周相切，而且数值必相等。§3–2薄壁圆筒的扭转切应力沿壁厚方向的变化规律：由于壁厚远小于圆筒平均半径，可近似认为沿壁厚方向（即径向）各点处的切应力数值无变化。10扭转dA：薄壁圆筒横截面上各点处的微面积。r：薄壁圆筒横截面上各点处的半径。由于薄壁圆筒扭转时横截面上任一点处的切应力都相等，其方向与圆周相切。于是，根据内力与应力间的静力关系，即力的平衡法则，得到内力扭矩T与切应力的关系为：内力平衡法则11A0=

6、r02，平均半径所作圆的面积。对于薄壁圆筒，横截面上各点处的半径相差极小，故r可用其平均半径r0表示（r=r0）。积分薄壁圆筒上各点处的切应力为等值的常量。T=(2r0)r0=2r02=T/(2r02)r2r112根据做图所示的几何关系，且扭转变形量很小（即与很小），所以，与的关系为：r：为薄壁圆筒的外半径L=r=r/L或与的关系Lr13剪切胡克定律通过薄壁圆筒的扭转实验发现：当外力偶矩Me在某一范围之内时，相对扭转角与外力偶矩Me之间成正比（左图）MeMeMe14扭转根据力的平衡法则，内力偶矩（扭矩）T=Me剪切虎克定

7、律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。外力偶矩在某一范围内Tr：薄壁圆筒外半径A0、、L、r均为常量15扭转式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量，因无量纲，故G的量纲与相同。不同材料的G值必须通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。注意：剪切胡克定律方程式只有在切应力不超过材料的某一极限值时才是适用的。该极限值称为材料的剪切比例极限p。引入比例常数G，得到：16扭转§3–3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图工程中常用的传动轴，往往只知道它传递的功率和转速