第5章 扭转 材料力学

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1、第5章扭转5.1圆轴扭转的概念5.2扭矩和扭矩图5.3纯剪切定律5.4圆轴扭转时横截面上的应力5-5圆轴扭转时的变形5.6圆轴扭转时的强度和刚度计算ABA'B'jgmm受力特点:外力偶作用平面和杆件横截面平行5.1圆轴扭转的概念扭转变形特点:各个横截面均绕轴线发生相对转动转角φ：任意两截面间相对转过的角度。扭转变形轴，圆轴5.2.1外力偶矩的计算5.2扭矩和扭矩图转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T1分钟输入功：1分钟m作功扭转例传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15k

2、W，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩扭转5.2.2横截面上的内力——扭矩1.横截面上的内力：扭矩(MT)2.扭矩求法：截面法3.扭矩符号规定：右手螺旋法则5.2.3扭矩图与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。例计算上例中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知477.5N·m955N·m637N·mMT+-作扭矩图如左图示。扭转例图示传动轴，转速n=500r/min，输入功率PA=10kW，输出功率分别为PB=4kW与PC=6

3、kW。试计算轴的扭矩，并画扭矩图解：1.扭力矩计算2.扭矩计算3.作扭矩图扭转MTMT2MT1例5-1图示传动轴，其转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B，C，D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW。试画出该轴的扭矩图。解：（1）计算外力矩（2）计算扭矩BA段AC段CD段（3）画扭矩图扭转MAMBMCMDMBMT1MBMAMT2MDMT3MAMBMCMDABCD+一MT(N.m)0.9552.871.592x扭转实验前平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的切应力的

4、方向必与圆周线相切。纵线圆周线扭转实验后结论扭转5.3纯剪切5.3.1薄壁圆管扭转时的切应力得：Mer0x扭转5.3.2切应力互等定律切应力互等定律纯剪切：单元体面各面上只有切应力而无正应力的应力状态ottdydzdxxyz′……剪切胡克定律（线弹性范围适用）Oτγ另外有：G为材料的切变弹性模量扭转5.3.3剪切胡克定律abdxabMTMT5.4.1变形几何关系5.4圆轴扭转时横截面上的应力扭转gMeMedxO2grgr5.4.2物理关系(剪切虎克定律)Or5.4.3静力学关系—极惯性矩dAdA应力公式1)横截面上任意点：2)横

5、截面边缘点：其中：d/2ρOMT抗扭截面模量D/2OMTd/2空心圆实心圆扭转例5-2有两根横截面面积及载荷均相同的圆轴，其截面尺寸为实心轴d1=104mm；空心轴D2=120mm，d2=60mm，圆轴两端均受大小相等，方向相反的力偶M=10kN·m作用，试计算（1）实心轴最大切应力（2）空心轴最大切应力（3）实心轴最大切应力与空心轴最大切应力之比解：（1）计算抗扭截面模量（2）计算最大切应力实心轴空心轴（3）两轴最大切应力之比即实心轴的最大应力约为空心轴的1.45倍扭转dDdρdAρdθ一、圆轴扭转变形计算目的：刚度计算、为解

6、超静定问题作准备。相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示圆轴抵抗扭转变形能力的强弱。扭转5-5圆轴扭转时的变形例5-3轴传递的功率为P=7.5kW，转速n=360r/min。轴的AC段为实心圆截面，CB段为圆环截面，如图所示。已知D=30mm，d=20mm，轴各段的长度分别为lAC=100mm，lBC=200mm。材料的剪切弹性模量G=80GPa。试计算B截面相对于A截面的扭转角φAB解：（1）计算扭矩（2）计算极惯性矩（3）计算扭转角φAB扭转MMABCDDd低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏扭转5.6圆轴扭转时的强度与刚度计算扭转失效与

7、扭转极限应力扭转屈服应力τs扭转强度极限τb扭转极限应力τ05.6.1强度计算根据强度条件可进行：强度校核;选择截面;计算许可荷载。强度条件：，[t]—许用切应力；nWMT0xttt=£=][)(maxTma例5-4某汽车主传动轴钢管外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩MT=1.5kN·m，[t]=60MPa，试校核轴的强度。解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。例5-5将上空心轴改成实心轴，强度不变由上式解出：d=53.1mm。空心轴与

8、实心轴的截面面积比(重量比)为：扭转例5-6两空心圆轴，通过联轴器用四个螺钉联接，螺钉对称地安排在直径D1=140mm的圆周上。已知轴的外径D=80mm，内径d=60mm，螺钉的直径d1=12mm，轴的许用切应力[τ]=40MPa，螺钉的许用切应力[τ]=80M