材料力学第2章轴向拉伸与压缩

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1、第2章轴向拉伸与压缩2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例生产、生活中经常遇到承受拉伸或压缩的杆件。例如，内燃机的连杆(见图2.1(a))，油压千斤顶的顶杆(见图2.1(b))、桁架中的杆件、起吊重物的钢索、厂房的立柱，等等。图2.1这些受拉或受压的杆件虽然外形各有差异，加载方式也并不相同。但它们的共同特点是：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合(受力特征)，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短，即杆件任意两横截面沿杆件轴线方向产生相对的平行移动(变形特征)，这种变形形式称为轴向拉伸和轴向压缩。若把这些杆件的形状和受力情况进行简化，可简化成如图2.2所示的受力简图，图中用虚线表示变形后

2、的形状。图2.22.2轴力与轴力图2.2.1轴力以如图2.3(a)所示的拉杆为例，沿横截面m—m将拉杆截分为两段，如图2.3(b)所示。由左段(或右段)的平衡条件可知，该截面上分布内力的合力必为一个与杆轴线重合的力N，且有图2.3N称为轴力，也常用FN表示。轴力的符号规则是：当轴力的方向与截面外法线方向一致时，轴力为正，杆件发生轴向拉伸变形；反之，轴力为负，杆件发生轴向压缩变形。图2.3中杆件的轴力为正。在计算某一截面的轴力时，也可采用“设正法”。即先假设该截面轴力为正，而后通过平衡方程求出轴力。结果为正，表明实际轴力方向与假设方向一致，该轴力为拉力；结果为负，表明实际轴力方向与假

3、设方向相反，该轴力为压力。“设正法”不仅可以用于轴力的计算，也可用于其他变形形式的内力计算。2.2.2轴力图当杆件受到多个轴向外力作用时，不同横截面上的轴力可能各不相同。表示轴力沿杆件轴线变化的图形称为轴力图。绘制轴力图时，需建立N—x坐标系，横坐标x表示横截面的位置，纵坐标N表示相应截面上轴力的数值。习惯上将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧。下面通过例题介绍轴力图的绘制。例2.1一等直杆及其受力情况如图2.4(a)所示。试绘制杆的轴力图。图2.4解如图2.4(b)所示，由杆的平衡方程可求得A端支座反力，即在求AB段内任一横截面上的轴力时，应用截面法研究截开后的左段杆，如图2

4、.4(c)所示。假定轴力为正，由平衡方程可求得AB段内任一横截面上的轴力为结果为正，说明N1的实际方向与假设方向相同。同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单，所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。同理，DE段内任一横截面上的轴力为依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴力发生在BC段内，其值为50kN。2.3拉(压)杆的应力与圣维南原理2.3.1横截面上的应力在轴向拉压杆的横截面上，由于只有法向

5、内力(即轴力N)的作用，因此，对应的横截面上的应力是法向应力(即正应力σ)。但要计算横截面上应力的大小，需要先确定横截面上的应力分布规律。而应力的分布和杆的变形情况有关，因此，需通过实验观察找出变形的规律，即变形的几何关系；然后利用变形和力之间的物理关系得到应力分布规律；最后由静力学关系方可得到横截面上正应力的计算公式。以下就从这3个方面进行分析。(1)几何关系取一根等截面直杆未受力之前，在杆的中部表面上画许多与杆轴线平行的纵线和与杆轴线垂直的横线；然后在杆的两端施加一对轴向拉力F，使杆产生伸长变形，如图2.5所示。由平面假设可知，两个横截面间所有纵向“纤维”的伸长是相同的，而这些“

6、纤维”的原长相同，于是可推知它们的线应变ε相同，这就是变形的几何关系。图2.5(2)物理关系根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维”的正应变ε相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力σ引起，故可推知横截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力σ为均匀分布，如图2.6所示。图2.6(3)静力学关系由静力学求合力的方法，可得由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相

7、同，即拉应力为正，压应力为负。前面的分析及结论是建立在平面假设成立的基础之上。当拉压杆件端面承受集中载荷或其他非均布载荷时，在靠近外力作用位置的区域，变形较为复杂，平面假设不成立，应力不再是均匀分布。研究表明：静力等效的不同加载方式只对加载处附近区域的应力分布有影响，离开加载处较远的区域，其应力分布没有显著的差别(见图2.7)，这一论断称为圣维南原理，它已被大量实验所证实。图2.72.3.2斜截面上的应力前面讨论了轴向拉压时杆件横截面上的应力