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1、§4约束极值问题(2)二、制约函数法(有约束à无约束)常用两类:惩罚函数à外点法;障碍函数à内点法.1.外点法求解<1>(1)作,则<5>第22页共22页再作<6>设极小值有限，极小值点,即则必,(否则)à,àà是<1>之解.缺点:是边界处不连续且无导数,难于操作.第22页共22页(2)改进令(在,,连续),且.注1:若原极小点在R内部,则仍在内部取到;注2:若原极小点在R的边界上,则新目标函数的无约束极小值可能不是原问题的解.第22页共22页再改进取为充分大正数,作惩罚项,惩罚因子(对不在的点作惩罚放大)或等价从而使的解是原问
2、题的极小解,或近似解.基本分析第22页共22页若,则必是原问题的解.这是因为:对,有第22页共22页(3)惩罚分析当时(惩罚越来越大)从的外部à的边界à如其解为(见右图)第22页共22页而当时,,最小;当,则由,得及,第22页共22页经济解释,正规,最宜;违规惩罚;大违大罚.总代价:对于等式约束问题第22页共22页采用对于有等式和不等式约束,用(4)外点步骤<1>令,取.第22页共22页<2>求<3>若某(其意:在外),或某(其意义:离边界较远).则再取(如),,转<2>;否则停.例11求()第22页共22页解作令当时,有第22
3、页共22页补充例11’解设令,,第22页共22页对使的点,即推得第22页共22页2.内点法原理:要求始终在R内部.为此在边界上设一屏障,一旦太靠近边界,有越界趋势时,新目标函数值迅速增大,从而可行点始终在内部而不越界,因此问题变为无约束极值.具体为(1)原(2)化作,其中障碍函数为,第22页共22页,或,上式中第二项为障碍项,正数称为障碍因子.一旦的边界,必有某àà可行点内部(始终)若原内部,则只需某个,就,若原边界上,则通过第22页共22页使的边界附近,某一精度为止.(3)步骤<1>取,,并令<2>构造(障碍项:用倒数或对数)
4、<3>以为初始点,求得极小值,(一维搜索,注意步长,不可越界)第22页共22页<4>检验或满足,则停,;否则再取(如),并令.准则也可或例12用内点法求解.第22页共22页解构造,由得,令,得.(4)初始内点的确定(也是一个迭代过程)第22页共22页任取(不一定恰为内点),令和若空，则即为初始内点；若非空,则以中约束函数的负为假拟目标函数,以中约束函数为障碍项,构成无约束极值问题,此时的惩罚函数如右图所示,求得,再检验,若不符,继续并减小第22页共22页一般步骤:<1>任取令<2>定出指标集,<3>若,则在内部,初始点找到;若,
5、则转<4><4>构造函数第22页共22页,以为初始点,在内极小化得令(如),,转<2>.第22页共22页作业4.3试用罚函数法(SUMT外点法)求解并写出当罚因子和时的近似解.4.4试用障碍函数法(SUMT内点法)求解第22页共22页
