《条件极值》PPT课件(I)

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1、多元函数微分学CalculusofFunctionsofSeveralVariables条件极值1三、有约束极值(条件极值)，Lagrange乘数法以下称待讨论极值问题的函数为目标函数。这一章讨论的极值问题有两类：无约束极值——只在目标函数的定义域范围内讨论极(最)值问题。(例1—2)有约束极值——在附加约束(constraints)条件下，讨论目标函数的极值问题。2求如k=1,求如k=2,求下的极值。”1.条件极值在数学上的提法3解决条件极值问题总的思路是，将其转化为无约束极值,但是当条件为方程(组)给的隐函数时，转化

2、有困难，从而产生了下述方法——Lagrange乘数法。2.条件极值的必要条件与Lagrange乘数法以下先分析Lagrange乘数法的原理，从而得出条件极值的必要条件,然后讲乘数法的具体作法。4于是问题转化为求的无约束极值若问题在获得极值,满足(前面定理1给出的)极值的必要条件则在该点对5特别在条件极值点处，有事实上对两边取全微分(用一阶微分的形式不变性)，得请注意这里的与中的一样,它具有任意性,且非零。6若记两式说明故在曲即面=0上点处的切平面上，又从有7说明于是得到亦即在M0点：下的极值的必要条件由于在切平面上

3、的任意性，说明也是切平面在点处的法方向，因此8由于此结果又相当于一个四元函数：取得无约束极值的必要条件,函数，F称为Lagrange称为乘数，9称为Lagrange乘数法。用Lagrange乘数法求条件极值的步骤：分析问题的目标函数和约束条件,作出相应的Lagrange函数:而把作为取条件极值的必要条件的方法按取无约束极值的必要条件先求出10类似地，可以解决两个约束条件的条件驻点及偏导不存在的点，然后可按定理2判定极大、极小值(还可讨论最大,小值)。求出它。其中是作为一个辅助工具,有时未必需要极值问题，其Lagra

4、nge函数为：11例4在周长为2p(常数)的一切三角形中，等边三角形面积最大。解设三角形的三边长为x,y,z,为简化计算，取目标函数而约束条件为则面积为12取得唯一驻点:令13例5截旋转抛物面其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高点和最底点。解求最高点和最底点的目标函数是14但这个极值问题受限于两个约束条件，是条件极值问题，设其Lagrange函数为利用条件极值取得极值的必要条件15令从可知若矛盾所以因而得到：再代入,得然后由16即得于是因而求得最高点为最底点为《接习题课》作业—（5月10日）P.68--习题5.4(A)

5、N.10——13；选:(B)N.1,N.2；17