导数应用常见九种错解剖析

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1、导数应用常见九种错解剖析湖南省祁东县育贤中学黄爱民421600导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。一、对导数的定义理解不清致错例1、已知函数/(%)=丄十-？”+6,则lim/(I+AX):/(AX)=()43mto2心2错解：•严(x)=X-2F,.・.原式=//(1)=_1,从而选；或//(a-)=x3-2x2,a原式=严(0)=0剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义中“山”与“Ay”的对应形式的多样性。正解：

2、原式二lim"+山"(1)=Hml.+⑴=lr(1)=_l,从而应选Cowo2Ar山to2(1+心)一122点评：.厂(劝二lim冬=lim/(心+山)—/g),函数在某一点X。处的导数，就是函数在这i点&T0心ztoAr的函数值的增最与白变最的增最的比值在白变最的增最趋近于零时的极限，分子分母屮的H变最的增量山必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是一24—丄心等。在导数定义中应特別注2意“心”与“Ay”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现“心”与“Ay”的一致性。二、对“连续”与“可导”定义理解不清致错。例2、函数y二f(x)在x=xo

3、处可导是函数y二f(x)在x二xo处连续的()A、充分不必要条件B必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件错解：认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选C。或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选B。剖析：防错关键是(1)理清充分、必要条件的概念；(2)函数尸f(x)在x=x°处可导必在x=x°处连续，函数y=f(x)在x二xo处连续不一定在x二xo处町导。如函数y=lxl在x=0处连续但在x=0处不可导。y=[x"乂THmf(x)-limx=0,limf(x)-lim(-x)二0,.・.f(x)在x二0处1一.x—()x-»o*x-»o

4、+a-»o~xt(t连续，Ay=/(O+Ax)-/(O)=IAxl,/.lim^=1,lim^=-1,/.当心t0时，乞的左右心t(t心山t(fAxAx极限不相等，所以其极限不相等，因此函数y=lxl在x=0处不可导。从而本题应选A。三、对.厂(无°)为极值的充要条件理解不清致错。例3^函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10,求a、b的值。错解：fx)=3x2+2ax+b,由题意知尸⑴二0,且f0)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+l=10,解Z得a二4,b=—11,或a=—3b二3剖析：错课的主要原因是把广(兀°)

5、为极值的必要条件当作了充要条件，/ZU0)为极值的充要条件是/Z(xo)=0Rx。附近两侧的符号相反.，所以后而应该加上：当a二4,1尸一11时fx)=3x2+8x-11=(3x+ll)(x—1),在x=l附近两侧的符号相反，・•・a二4,b二一11.当a=—3b二3Htf'(x)=3(x—1)在x=l附近两侧的符号相同，所以a二一3b二3舍去。••・(a=4,b=-ll吋，f(x)=x3+4x2-llx+16的图象见下面左图，a=-3b二3时(f(x)=x：-3x2+3x+9的图象见右图。)四、对函数的单调区间考虑不全致错例4、求函数/(兀)二

6、頁一ln(x+l)(x>0)的单调增区间。错解：山题意得>0,・・・/_2x+l>0,・••兀H1,乂因为函数的定义域2Jx兀+1是(0,+oo),所以函数的单调递增区间是(0,1)和(1,+oo)。剖析：本题错在对两数在x=l处是否连续没有研究，显然函数在X=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是(0,+oo)•対于广(兀)>0(或fx)<0)的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。五、对函数单调的充要条件理解不清致错例5、已知函数f(x)二叱!■在(一2,+oo)内单调递减，求实数a的取值范围。兀+2错解：厂⑴二2°，由函数

7、丿在(―2,+oo)内单调递减知/z(x)<0在(-2,+-)(兀+2尸c［1内恒成立，即.<0在(一2,+oo)内恒成立，因此a<-.(x+2)22剖析：错误的主要原因是由于对于函数丿在D上单调递增(或递减)的充要条件是广⑴no(或、厂⑴so)且.厂⑴在d任一子区间上不恒为零没有理解。而当a二+时/z(x)=0在(-2,+oo)恒成立，所以不符合题意，所以舍去。即实数a的取值范围为(—1)02六、没有考虑函警巒于可导致错例6、求f(x)=V(x2-2x)2在［―1,3］上的最大值和最小值。错解：由题意得厂(力二4.1,令/Z(X)=0得x二1.3

8、・・・/(-I)=V9,/(l)=1,/(3)=阪・・・当x=-l和3时,函数的最大值是術，当x=l时，函数的最小值是1・