导数应用问题—9种错解剖析

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1、导数应用问题一9种错解剖析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区一、对导数的定义理解不清致错例］、已知函数宀孑宀6,43则lim2bx=()A-1B0C-丄D22错解：・・・/（X）=4口・・・原SC-/Q—1,从而选；或/(r)=r3-2r.式=严(0)・0剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义屮“”与"Ay”的对应形式的多样性。正解：原式二!並/(l+AxMQ)2Ax

2、iw1/Q^Xy(l)"2(1+Ax)-1

3、杯）一扌，从而应选C。点评：止）=辄铁辄型骨^，函数在某-点X。处的导数，就是函数在这-点的函数值的增量与口变量的增量的比值在口变量的增量趋近丁•零时的极限，分子分母屮的自变暈的增量山必须保持对应-致它是非零的变量，它可以是-2山，扌&等。在导数定义中应特别注意“”与”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现“”与”的一致性。二、对“连续”与“可导”定义理解不清致错。例2、函数y=f（x）在x=x°处可导是函数y二f（x）在x二xo处连续的（）A、充分不必要条件B必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件错解：认为“连续”与“可导”是

4、同一个概念而错选C。或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选B。不可导。x>0“0剖析：防错关键是（1）理清充分、必要条件的概念；（2）函数y=f（x）在x二x°处可导必在x=x°处连续，函数y=f（x）在x二xo处连续人一定在x=x（）处可导。如函数丿叫川在x=0处连续但在x二0处又•・•瞬E）T弗2°伽他=卿一力=°-%）在X丸处连续，®5+g-/（o）=im切曙=1,凹¥=-】,•••当时，營的左右极限不相等，所以其极限不相等，因此函数y

5、x

6、在X二0处不可导。从而本题应选A。三、对Z（x0）为极值的充要条件理解不清致错。例3、函数f（x

7、）=x3+ax2+bx+a2在x二1处有极值10,求a、b的值。错解：/⑴=3x2+2ax+b,由题意知/（I）=0,且即2a+b+3=0,且a2+a+b+l=10,解之得a=4,b二一11，或a=—3b二3剖析：错误的主要原因是把/（XO）为极值的必要条件当作了充要条件，/Z（x0）为极值的充要条件是/（心）二0且xo附近两侧的符号相反.，所以后面应该加上：当a=4,b=—11时/'（X）=3x'+8x—11=（3x+ll）（x—1）,在x=l附近两侧的符号相反，・：a二4,b二-11.当a=—3b二3吋F（x）二3（x-1）2,在x二1附近

8、两侧的符号相同，所以沪一3b二3舍去。：.（a=4,b=—11吋，f（x）=x3+4x2—1lx+16的图象见下面左图,a=—3b二3时（f（x）=x3—3x2+3x+9的图象见右图。）四、对函数的单调区间考虑不全致错错解:由题意得/⑴二§石>0,XH1,又因为函数的定义例4、求函数/W=V^-ln（x+l）（x>0）的单调增区间。域是（0,+00）,所以函数的单调递增区间是（0,1）和（1,+8）。剖析：本题错在对函数在X=1处是否连续没有研究，显然函数在X=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0,+8）.对于/（X）>0（或广⑴<0）的

9、解集屮的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。五、对函数单调的充要条件理解不清致错1例5、已知函数f（x）二一在（一2,+8）内单调递减，求实数a的取值范围。x+2错解：广⑴二（I：；］，由函数fQ在（一2,+8）内单调递减知/'（%）<0在（一2a—12,+8）内恒成立，即（丄》2M0在（一2,+8）内恒成立，因此a<-・（x+2），2剖析：错误的主要原因是由于对于函数丿在D上单调递增（或递减）的充要条件是/（X）>0（Wc/Z（x）M0）且护（力在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当护+时/'（X）二0在(一2,+8)恒成立，所以

10、不符合题意，所以舍去。即实数3的取值范围为(-00,1)o六、没有考虑函数在某点不可导致错例6、求f(x)=#(F-2x)2在［一1,3］上的最大值和最小值。错解：由题意得广⑴二亍•#；:X，令ff(x)=o得X=l.・・・/(-I)=V9,/(l)=1J(3)=皈当x=—1和3时，函数的最大值是2®,当X二1时，函数的最小值是1.剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得.所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为v/(-l)=V9,/(l)=l,/(3)=V9,f

11、(0)=0,f(2)=0函数的最小值是0。事实上只要作出函数当x=—1和3时，函数的最大值是？。血l-2x>0^x