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1、导数易错剖析例1设函数［y=f(x)］在4=乂0］处可导，问极限［limAx-^Of(xO+2Ax)-f(xO)Ax］是否存在？若存在，与［f(xO)］有什么关系？错解［limAx—0f(x0+2Ax)-f(x0)Ax］［=f，(xO)］分析本题中［f(xO+2Ax)-f(xO)］是函数值从［xO］到［xO+2Ax］的增量，此时［x］的增量为［2Ax］，则平均变化率应为［f(xO+2Ax(xO)2Ax］?此解法是对导数定义［Ay］是从［xO］到［x0+Ax］的增量理解不透而导致错误的.正解［limAx-^Of(xO+2Ax)-f(xO)Ax］
2、[=2limAx-^Of(xO+2Ax(xO)2Ax=2f(x)].(xO+2Ax点拨定义中增量的形式多种多样，只需趋近于0无论是从正方向还是负方向都可以.如［limAx->0f(xO)2Ax],[limAx^Of(xO+Ax2)(xO-Ax2)Ax］或［limAx-^Of(xO-Ax)-f(xO)-Ax］等，其实质是：极限式中分子对应的自变量的差等于分母.易错2误将己知点当成切点例2求曲线［C］:［y=x2+x］过点(1，1)的切线方程.错解因为［y'=2x+l］,所以［k=y'
3、x=l=3］,所以切线方程为［y=3x+2］.分析导数的几何
4、意义是［f(xO)］表示曲线在［P(xO,f(xO))］的切线的斜率，而不是过任意一点的斜率.本题中(1，1)并不在曲线上，不是切点，从而导致错误.正解设切点［(xO,yO)］，则切线方程为［y-yO=(2x0+1)(x-xO)］，所以［xO(2-x0)］［=0］./.［x0=0］或［x0=2］..••切点为(0，0)或(2，6).所以切线的方程为［y=x］或［y=5x-4］.点拨(1)求函数在一点的导数，解决了一般曲线在一点的切线问题，对于二次曲线仍可用一元二次方程的判别式解决.(2)利用求导解决曲线的切线问题特别要注意所给蒂娜是否在己知曲
5、线上，不管事求函数图象在某点的切线还是过某点的切线，首先要确定切点坐标，得出切线的斜率，进而求得结果.(3)切线与曲线的公共点除了切点外，还可能有其他的点，曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不只一条.易错3忽视函数的定义域例3函数［f(x)=
6、g(4-x2)］的单调递增区间为.错解函数［f(x)］的导函数［f(x)=2x(x2-4)InlO］,令［f'(x)〉0］得，［-22］,所以函数的单调递增区间是［(_2,0)］和［(2,+°°)］.分析由［4-x2〉0］得，本题中函数的定义域为［(-2，2)］，故单调递增区间［(2,+-)
7、］并不是定义域的子集.正解由［4-x2〉0］得，函数的定义域为［x
8、-20］，得［-20)］，求函数在［R］上为增函数的充要条件.错解因为［f(x)=3ax2+2bx+c〉0］恒成立，且［a〉0］，所以［△=4b2-12bc0,b20］视为［f(x)］在間为增函数的充要条件，事实上其充要条件为［f(x)>0］且［f(x)=0］的解是间断点.正解［a〉0，b2^3ac.］例6已知函数［f(x)=x3+3ax2+3bx］在［x=0］处有极值，求［a］，［b］的关系式.错解［f(x)=3x2+6ax+3b=0］有解［x=0］,则［b=0］.分析本题
9、中认为［f(x)=0］的解都是函数的极值点，由此得［x=0］为［f(x)=0］的解是［f(x)］在卜=乂0］处有极值的充要条件，但它只是必要不充分条件.正解［a关0］且［b=0］.点拨(1)课本中关于函数单调性的判断结论可修改为：设函数［y=f(x)］在某区间上可导，如果［f(x)彡0］且［f(x)=0］的解是间断的，那么［f(x)］为增函数，反之为减函数，修改后其逆命题也是正确的.(2)可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如［f(x)=x3］在［x=0］处导数为0，但它不是极值点.特别地，函数的不可导点(如尖点
10、)也可能是极值点.如函数［f(x)=x］在［x=0］处不可导，但有极小值为0.易错6误认为导数为零的点(驻点)一定是极值占例7己知函数［f(x)=x44+b3x3-(2+a)2x2+2ax］在点［x=l］处取极值，且函数［g(x)=x44+b3x3-(a-1)2x2-ax］在区间［(a-6,2a-3)］上是减函数，求［a］的范围.错解［f(x)=x3+bx2-(2+a)x+2a］，由［f(1)=0］得，［•••§'(x)=x3+bx2-(a-1)x-a］［=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+l)］.当［x.••［(
11、a-6,2a-3)?(-°°,a)］./.［a-63,-2x+l,-20］.当［120］时，［f(x)=lx］(2)当［x
