南大复变函数与积分变换课件(PPT版)6.3 分式线性映射

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1、§6.3分式线性映射一、分式线性映射的一般形式二、分式线性映射的分解三、保形性四、保圆性五、保对称点性六、唯一决定分式线性映射的条件七、两个典型区域间的映射一、分式线性映射的一般形式定义(为复数且)由分式线性函数构成的映射，称为分式线性映射；特别地，若则称为(整式)线性映射。(2)分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射：(1)两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射；注二、分式线性映射的分解分析分式线性函数可改写为：(1)当时，(2)当时，二、分式线性映射的分解分析因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种最简单的分式线性映射复合而成。(

2、1)(b为复数)；(2)(为实数)；(3)(r为正数)；复合成(整式)线性映射。在后面的讨论中，有时会根据需要，只对(整式)线性映射和第(4)种映射分别进行讨论。复合成分式线性映射。(4)二、分式线性映射的分解1.平移映射(b为复数)令则有向量的方向平移一段距离.它将点集(点曲线区域等)沿着、、下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化，将w平面与z平面放在同一个平面上。二、分式线性映射的分解2.旋转映射旋转一个角度它将点集(点曲线区域等)、、(为实数)令则有当时，沿逆时针旋转；当时，沿顺时针旋转。二、分式线性映射的分解3.相似映射其特点是

3、保持点的辐角不变，(r为正数)令则有但模扩大(或缩小)r倍。它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r倍。特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域。单位圆外(或内)，且辐角反号。二、分式线性映射的分解4.反演(或倒数)映射它将单位圆内(或外)的点映射到令则有如图，反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成：(1)将映射为满足(2)将映射为满足二、分式线性映射的分解圆周对称的概念定义设某圆周C的半径为R，则称A和A,B两点位于从圆心O5.两个特殊的对称映射自然地，规定圆心O与无穷远点关于该圆周对称。CBAROB是关于圆周C对称的。出发的射线上(如图)，且

4、TP145定义6.3二、分式线性映射的分解5.两个特殊的对称映射(1)关于单位圆周的对称映射令则有即(2)关于实轴的对称映射令则有即二、分式线性映射的分解5.两个特殊的对称映射(1)关于单位圆周的对称映射(2)关于实轴的对称映射共形映射来使用。注意上述两个映射并不是解析的，因此它们不能单独地作为映射的变化过程。即其主要作用是为了能更好地看清倒数解平移倒数旋转相似平移比如(1)(2)P43例6.5则点对应于点记为因此，函数在无穷远点的性态可由函数在原点的性态来刻画。三、保形性为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行某些技术处理和补充说明。

5、令即则“认为”函数在无穷远点也解析。比如若函数在原点解析，(1)对于函数则有思想(回顾)其思想已在§5.2节中介绍过。则点对应于点三、保形性为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行某些技术处理和补充说明。令即思想(回顾)其思想已在§5.2节中介绍过。曲线在无穷远点的性态可由像曲线在原点的性态来刻画。比如z平面上两曲线在无穷远点的交角，(2)对于平面上过无穷远点的曲线C，它们在映射下的像曲线在原点的交角。同样有可定义为三、保形性1.倒数映射的保形性由此，倒数映射在扩充复平面上是双方单值的。(1)当且时，单值性当时，当时，规定：解析性函数解

6、析，且(2)当时，令则函数在处解析，且倒数映射在扩充复平面上除外是共形映射。三、保形性1.倒数映射的保形性倒数映射在扩充复平面上除外是共形映射。映射在w扩充复平面上除外是共形映射。同理，映射在处是共形映射，特别有，倒数映射在处是共形映射。结论倒数映射在扩充复平面上是共形映射。由此即得：三、保形性1.倒数映射的保形性由此，线性映射在扩充复平面上是双方单值的。当时，单值性当时，规定：解析性2.线性映射的保形性函数解析，且线性映射在扩充复平面上除外是共形映射。(结论同上,跳过?)三、保形性1.倒数映射的保形性2.线性映射的保形性线性映射在扩充复平面上除外

7、是共形映射。当时，令函数在处解析，且则且当时，因此，映射在处是共形映射,三、保形性1.倒数映射的保形性2.线性映射的保形性线性映射在扩充复平面上除外是共形映射。当时，令则映射在处是共形映射,且又映射在处也是共形映射，线性映射在处是共形映射。结论线性映射在扩充复平面上是共形映射。即得：三、保形性1.倒数映射的保形性2.线性映射的保形性3.分式线性映射的保形性由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合，因此就得到了如下定理。定理分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。注意该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，而且其中的保角性在分式线性映射

8、的构造中非常实用。P146定理6.5四、保圆性1.倒数映射的保圆性分析令由有(A)将(A)式代入，即得到其像曲线所满足的方