函数的奇偶性总结

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1、生活中的对称美y0x观察下面两个函数图象，它们有什么共同特征？yy665544332211-3-2-10123x-3-2-10123xy=x2y=

2、x

3、结论：这两个函数的图象都关于y轴对称。填写表（1），你发现了什么？y6x-3-2-101235y=x294101494表（1）3f(-1)=1=f(1)21f(-2)=4=f(2)-3-2-x-101x23xf(-3)=9=f(3)……2y=xf(-x)=f(x)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数。填写表

4、（2），你发现了什么？y6x-3-2-101235y=

5、x

6、32101234表（2）3f(-1)=1=f(1)21f(-2)=2=f(2)f(-3)=3=f(3)-3-2-10123x……y=

7、x

8、f(-x)=f(x)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=

9、-x

10、=

11、x

12、=f(x),这时我们称函数y=

13、x

14、为偶函数。一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。1y例如：函数y=x2+1，x211都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.偶函数的图

15、像特征如果一个函数是偶函数,则它的图象关于y轴对称。2y=x反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数。性质：偶函数的定义域关于原点对称2问题：f(x)x,x1,2是偶函数吗？解：y6不是。54321-3-2-10123x例：2y=x性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗？yy332211-3-2-10123x-2-10123x-1-1-2-2-3-31f(x)=xf(x)x填写表（3），你发现了什么？yx-3-2-101233f(x)=x-3

16、-2-101232表（3）1f(-1)=-1=-f(1)-2-10123x-xx-1f(-2)=-2=-f(2)-2f(-3)=-3=-f(3)-3……f(x)=xf(-x)=-f(x)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数。填写表（4），你发现了什么？y3x-3-2-10123111121f(x)x32-11231表（4）-2-10123xf(-1)=-1=-f(1)-11-2f(-2)==-f(2)2-31f(-3)==-f(3)31……f(x)f(-x

17、)=-f(x)x实际上，对于非零实数集内任意的一个x,都有f(-x)=-1/x=-f(x),这时我们称函数y=1/x为奇函数。一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。如果一个函数是奇函数，则它的图象y=x3关于原点对称。O反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数为奇函数。性质：奇函数的定义域关于原点对称。问题：f(x)x,x1,是奇函数吗？y解：32不是。1-3-2-10123x-1-2-3例：3y=x0性质：奇函数在关于原点对称的区间上

18、单调性一致．1、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性；2、函数的奇偶性是函数的整体性质。用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否恒成立。考点探究•挑战高考函数奇偶性的判定1．判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数．2．若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：(1)定义判断：f(－x)＝

19、f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．(2)等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数．例5、判断下列函数的奇偶性：45(1)f(x)x(2)f(x)x11(3)f(x)x(4)f(x)2xx45(1)f(x)x(2)f(x)x11(3)f(x)x(4)f(x)2xx(1)解：定义域为R(2)解：定义域为R∵f(-x)=(-x)4=x4=f(x)∵f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=f(x)即f

20、(-x)=-f(x)∴f(x)为偶函数∴f(x)为奇函数(3)解：定义域为{x

21、x≠0}(4)解：定义域为{x

22、x≠0}11∵f（-x）x（x）=-f（x）11（∵f-x）（fx）（x）x（x）2x2即f(-x)=-f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)为奇函数∴f(x)为偶函数