函数奇偶性的归纳总结.doc

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1、函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。一般地，对于函数，如果对于函数定

2、义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。②常用的结论：若f(x)是奇

3、函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

4、y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或〕函数f（x）是偶函数；对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或函数f（x）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较与的关系。③、扣定义，下结论。⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇

5、函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。③若为偶函数，则。二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.【例1】判断下列函数的奇偶性：(1).(2).解：函数的定义域是，∵，∴，∴为偶函数。（法2—图象法）：画出函数的图象如下：由函数的图象可知，为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2).解：由，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】判断下列函数的奇偶

6、性：(1).(2).(3).。解：(1).由，解得∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则.∴.∴为奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2).函数定义域为R，∵，∴，∴函数为偶函数。(3).由，解得，∴函数定义域为，又∵，∴，∴且，所以既是奇函数又是偶函数。【例3】判断下列函数的奇偶性：(1).；(2).解：(1).定义域为R，∵，∴f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数。说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找与关系，但当直接找与关系困难时，可用定义的变形式：函数f（x）是偶函数；函数f（x）是奇函

7、数。(2).函数的定义域为R，当时，当时，当时，综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】已知函数对任意的非零实数恒有判断函数的奇偶性。解：函数的定义域为，令，得，令，则取，得故函数为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1).求字母的值：【例5】已知函数是奇函数，又，，求的值.解：由得，∴。又得，