函数奇偶性经典总结

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1、--函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，f(x)f(x)0，那么函数fx就叫做偶函数。2.奇函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任一个x，都有fxfx，f(x)f(x)0，那么函数fx就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断fxfx之一是否成立。（2）在判断fx与fx的关系时，只需验证fxfx0及f(x)=1是否成立即f(x)可来确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。f(x)x1xx⑴f(

2、x)x2x，（2）f(x)x3x（3）f(x)x21Gxfxfx,xR(4)(5)f(x)xcosx(6)f(x)xsinx(7)f(x)2x2x，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。（2）常见的奇函数有：f(x)x，f(x)x3，f(x)sinx，f(x)1（3）常见的奇函数有：f(x)x2，f(x)x，f(x)cosxx（4）若fx、gx都是偶函数,那么在fx与gx的公共定义域上，fx+gx为偶函数，fxgx为偶函数。当gx≠0时，f(x)为偶函数。g(x)（5）若fx，gx都是奇函数，那么在fx与gx的

3、公共定义域上，fx+gx是奇函-----数，fxgx是奇函数，fxgx是偶函数，当gx≠0时，f(x)是偶函数。g(x)-----1/14-----（6）常函数fxcc为常数是偶函数，fx0既是偶函数又是奇函数。（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数Fxfgx；若gx为偶函数,fx为奇（偶）函数，则Fx都为偶函数；若gx为奇函数，fx为奇函数,则Fx为奇函数;若gx为奇函数，fx为偶函数,则Fx为偶函数.题型二三

4、次函数奇偶性的判断已知函数f(x)ax3bx2cxd，证明：（1）当ac0时，f(x)是偶函数（2）当bd0时，f(x)是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如fxax2bxc，当b0，f(x)()是偶函数；当ac0，f(x)是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数fxax23ab是偶函数，定义域为a1，2a，则ab1．bx32设f(x)ax2bx2是定义在1a,2上的偶函数，则f(x)的值域是10,2．3已知f(x)sinx是奇函数，则a的值为1(x1)(xa)4已知f(x)sinxln(xx2a)是偶函数，则a的值为1提示：（1

5、）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，f(x)f(x),f(x)f(x)。（2）因为是填空题，所以还可以用f(1)f(1),f(1)f(1)。（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四利用函数奇偶性的对称-----1下列函数中为偶函数的是（B）-----2/14-----A．yx2sinxyxB．yx2cosxC．ylnxD．y2x2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是AA．yxexB．yx1C．y2x1D．y1x2x2x3下列函数中，为偶函数的是（C）A．yx1B．y1C．yx4D．yxx41x的图像关于（C）函数f

6、(x)xA．y轴对称B．直线yx对称C．坐标原点对称D．直线yx对称5已知函数f(x1)是R上的奇函数，且f(1)4，则f(3)=-46已知函数f(x2)是R上的偶函数，则f(3)3，则f(7)=-3提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，f(x)f(x),f(x)f(x)。(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。(3)在原点有定义的奇函数必有f(0)0。（4）已知函数f(xt)是R上的奇函数，则f(x)关于点(t,0)对称。(5)已知f(xt)是偶函数，则f(x)关于直线xt对称。题型五奇偶函数中的分段问题1设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，

7、f(x)2x2xb（b为常数），则f(1)-32已知fx是奇函数，且当x0时，fxxx2，求x0时，fx的表达式。f(x)xx23已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x3x2，则f(3)=-454已知fx是偶函数，当x0时，f(x)x22x，求f(4)245设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则xfx20={x

8、x0或x4}-----提示：（1）已知奇函数f(x)，当x0，f(x)g(x)，则当x0时，f(x)g(x)。-----3/14-----（2）已知偶函数f(x)，当x0，f(x)g(x)