解析几何教学中寻求问题解决的思维策略

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1、解析几何教学中寻求问题解决的思维策略叶露张奠宙教授曾概括地捉出：数学思维的特点是“策略创造和逻辑，演绎的结合”。数学思维是人类认识客观世界的过程中逐渐树立的思维活动。随着新教材的渗入，近几年的高考中可以发现这样一种趋势：解析儿何已逐渐成为i个新的热点内容，题目新颖，难度增加。这给考牛带来了一定的困难，得分往往较低，因此在解析儿何教学中培养学牛的思维策略与方法显得尤为重要。一、角度变换，例题新解。对教材上的典型例题，除了引导学牛分析其思维过程外，述适当引导学牛探索一些新的解法，它要求能从不同角度和侧血去

2、寻求变显，从隐秘的数学关系中找到问题的实质，探求各种知识的相互联系，发挥立体的教学作川，训练求异思维，促进知识之间的联系，渗透和迁移。下以线性规划中的例题为例：设Z=2兀+y,式中变量兀y满足下列条件<3x+5y<25求z得最大值和最小值x>此题可另解为：由z=2尢+y=>y=z-2兀4z-9xX3则约束条件可化为：（5z—7xS25x>l如图可的：A、B点的纵坐标值就是所求最值由=5z-7x=25=12.4z-9x=3°山*1n2则Sax=12,Sin=3通过认识元索z间的关系，建立问题的模式，并

3、进而形成一定的思维。此方法避免了原有目标函数与儿何量的转换，从而使问题迅速，巧妙地获得解决。，深入地展示了数形的完美结合。二、数形结合，剖析错解通过解题灰的反思，发现和纠正错误，并能进行各种各样的正误检测，这对学生消除认知上的差异，以及狭隘的思维定势有非常好的作川，并能使学生顺应新问题，新体会，调整原来的认知结构。例：一支双曲线的右准线为兀=4,右焦点F（10,0）,离心率e=2,求双曲线方程2错解1：・・•右准线方gx=4,.—=4C又c=l(V./=40,/?2=c2-a2=60,77故所求双痕

4、方程为話詁I错解2：•・•右焦点尸(10,0),."=10乂e=2,-=2,:.a2=5b2=c2-

5、工=2卜-4

6、化简得：（兀_2尸_疋=11648正解二:设双曲线中心为（加,0）由题意得：m+c=10二>«c=8c小m=2—=2a:,b2=c2-a2=48.・.古双曲线方程为（%一"-21=11648在求双曲线方程和研究双曲线的性质时，要深刻理解确定双曲线的形状，人小和儿个主要特征量，如a.b.c.e的儿何意义及它们之间的相互关系。以上两种方法从双曲线的第二定义(数)和儿何特征(形)两种角度入手三、引辅增设，一题多解分析原命题的己知条件，探索在所给条件下的问题结构，rh于所给条件不够明朗，可以通过

7、变换分析，设置媒介或中途点，从不同角度使川同一•条件，也是数学思维的一条重要策略。从而更能激发学生的学习兴趣，收到举一反三，触类旁通的效果。例：设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被兀轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1,在满足(1),(2)的所有圆屮，求恻心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆方程。解法一：设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到兀轴,y轴的距离分别为同，问有题设知圆被兀轴截的劣弧所对的圆心角为90°,圆截兀轴所得的弦长为血几丘2故有宀1(于尸专(1)又圆截y轴所得弦长为2,

8、所以/二厂2_](2)由(1)(2)nib2-a1=1乂点P到直线l:x-2y=0的距离为:所以5d2=/+4沪-4ab>a2+4/异—4(/+沪)=2沪-a2=1当口仅当a=b时等号成立,所以圆方程为(%一1)2+(y_厅=2或(兀+1)2+(y+1)2=2解法二:因2b2-a2=1,故5d?=a2+4/?2-4ab=a2+(a2+}+lb2一4cib=2(a2+/-4ah)+1=2(a-b)2+1>1当H仅当a=b时，取最小值。下同解法三：ll]2b2-a2=l=>(72b-tz)(V2/?+^

9、)=l有待定系数法得2—粤V2+1+2y[2h-a>2J丄2沪一°1下同解法一，二，三在条件2沪-下，求〃=匕凹得最小值时此题的难点，不等式性V5质是解决此类数学问题的桥梁，常量的适当引用与合理变化往往是解决数学问题的关键所在。除了上述几种方法外，还有以下二种方法。解法四：设所求圆方程为（兀—d『+（y—疔二厂十＞0）,且该圆与*轴，），轴分别山交点A（旺,0）,B&2,0）和C（0,%）,»（0,力）山(x—«)2+b2=r2得xl2=a±^r2-b