数学问题解决的思维策略

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1、数学问题解决的思维策略波利亚在《怎样解题》一书中提出数学解题思维过程有四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这卩L

2、个阶段的思维实质可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。其中转换阶段的核心是解题思维策略的选择和运用，它对于实现解题起关键作用。因此在数学教学中重视解题思维策略的训练对于提高学生的数学思维能力具有直接的指导意义。同时对于破除我国当前数学教学中存在的题海战术也具有积极的现实意义。下面本文从六个方面阐述常用的数学思维策略并举例加以印证。一、以简驭繁在数学的知识链和问题链屮由简而生

3、繁，遇繁而思简是一条重要的思维守则，解题时应学会观察数学形式结构，从总体的粗线条上把握题ri的数学图示或将题目中有关的概念或方法转化为较简单的情形入手解决。例1.已知关于x的方程：ax2+2(2a-1)x+4a-7=0(a$N)问a为何值吋，方程至少有一个整数根？分析：所给方程是一个含参数a的二次方程，如果用求根公式解出x,再由a的值来讨论根的情况运算就较为复朵。但若注意到a的最高次数仅为一次所以可把原方程看成关于a的方程，由此再讨论整数根x的存在就较为简单。此时只需考虑a=(2x+7)/(x+2)2(xH・

4、2)及2x+7M(x+2『(xGZ)即可确定符合条件的a值。二、数形迁移数式和形Z间的相互迁移、转化的形态有①由形迁移至数式，解析儿何是休现这种研究的典范。②由数式迁移至形，即我们常说的数形联想。③数式之间及形Z间的迁移。例2、方程2V(x-l)2+(y-l)2=Ix+y+2

5、的曲线是()A椭岡B双曲线C线段D抛物线分析：本题若直接对表达式平方化简，则所得结果较繁很难看出它表示什么曲线，若由数式结构联想到解析几何小公式联想到相应的图形则有巧解：上式叮变形为其左端的几何意义可以理解为动点(x,y)到定点(1,1

6、)和到定直线x+y+2=0的距离Z比其比值为。2<，根据椭圆第二定义口J知，上式表示的曲线是椭圆。三、化生为熟G波利亚在“怎样解题”中说：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？即要把陌生的问题通过适当的变更化归为熟悉的问题化生为熟。例3、a、bWR,求证：Ia+bIIaI+IbI1+Ia+bI1+IaI+IbI分析：观察式子结构类似于函数f(x)=x/(l+x),xe「0,+s),因此只需证明f(x)=x/(l+x)在「0,+°°)是单

7、调递增即可，这是很容易证明的。四、正难则反对一个问题的解决从正面入手较难或较繁的情况下，我们往往从问题的反面入手去思考，采取顺繁则逆，正难则反的思维策略，即顺证不易解决时就考虑用反证法或顺推法，当正向思维不能凑效时，就采用逆向思维去探索，当推理屮出现逻辑才盾或缺陷时，就尝试从反面提出假设通过背向思维进行论证。例4、ai、a2、、a3…ag^R+且a【+a2+…+a8=20,ai、a2…范<12求证：aja2…aj

8、i至少有一个小于1。分析：若从正面证明a】a2…出中至少有一个小于1,情况较多问题十分复杂，故可

9、用反证法去证明。证明：假设aja2…都不小于1,贝U可设心=1+6且b&0(i=l、2、・・・8)由已知条件得：bi+b2+・・・+b8=12又a®2…a8=(l+bi)(l+b2)…(l+b8)=l+(b】+b2+…+bg)++b】b2…bg21+(bi+b2+…b8)=13>12与已知aia2---a8<12矛盾,所以aia2---a8都不小于1是错误的，从而知aia2•-a&中至少有一个小于1。五、倒顺相通数学题往往采取顺推，从条件出发推出某些关系或性质去逼近结论，或者用逆求，由结论去寻找使它成立的充分

10、条件，直至追溯到已知条件，但最有效和简捷的解题途径是两者的冇机结合，即既要盯住目标也要注视已知条件，兼顾条件和结论两个方面集屮注意力与口标，从整体考虑进行联想，对问题的倒推顺证进行综合思考，也易于挖掘题中隐含的数量关系，并发现有关性质，从而沟通已知条件和待证结论或求解对象间的过渡关系。例5：已知｛an｝是等差数列,且a8

11、洁解法，由S]7・S5=0得：a6+a7+••-ai6+a17=0/.a6+ai7=a7+ai6=…=an+ai2/.6(au4-ai2)=0又Va8<0・••数列递增Aan<0a12>0六、进退并举在解决数学问题吋有些数学问题口J以先进后退，通过研究较易的但更为一•般的问题的讨论来解决特殊的或具体的问题，即以进求退。有些数学问题则相反如华罗庚所说：“先足够退到我们所容易看清楚的地方，认透了钻深了，