几何概型的疑难剖析

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1、几何概型的疑难剖析如呆何个事件发牛的概率只与构成该事件区域的长度（而积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。在几何概型中，事件A的的概率的计算公式如下：构成事件A的区域长度（面积或体积）（试验的全部结果所构成区域长度（面积或体积）由此分析，儿何概型应满足以下两个条件：①每次试验的结果有无数多个，且全体结果可用一个有度最的几何区域来表示：即，结果的无限性。②每次试验的各种结果发生的概率都相等：即等可能性。下而就几何概型的典型例题作以剖析典型例题一：与长度有关的儿何概型有一段长为13米的木棍，现要截成两段，每段不小于5米的概率是多大？分析：从木棍的

2、每一个位置截断都是一个基木事件，基木事件有无数多个，且在每一处截断的概率相等，所以是几何概型。M：记事件A=“截得的两段均不小于5米”，从木棍的两端分别度量出5米，当截点位于中间部分时,3满足条件，由题意，中间部分长度为13-5-5=3米，所以P（A）=—o小结：求与长度有关的几何概型的步骤：（1）.明确棊木事件和所涉及事件包含的棊木事件；（2）.用字母表示有关的事件，如求P（A）⑶.求⑷.14在每个位置的可能性练习：在半径为1的圆周上任取两点，连接两点成一条弦，求弦长过此圆内接正三角形的概率。分析：如图，不妨固定一点A,则B点可在圆周上（除A点外）任何位

3、置，相等，所以是几何概型。解：记事件A二“弦长超过圆内接正三角形的变长”，整个圆周长I严2兀,当—时，ZBOB=——,所以BBB,=——，由题意，点B落在331-32兀BBB,上时满足条件，所以P（4）=2二丄。2龙3典型例题二：与角度有关的儿何概型如图所示，在直角坐标系内，射线0T落在60°角的终边上，任作一条射线0A,求射线OA落在ZxO丁内的概率。分析：以O为起点，在该平面直角坐标系内做射线OA是随机的，落在每一个位置是等可能的，符合儿何概型。解：记事件A二“射线OA落在厶0T内”，由ZxOT=60°当射线OA任意作时，覆盖整个处标系，所以P(A

4、)=60°36O7小结：此题的关键是确定在平面直角处标系屮作射线OA是任意的，而且是均匀的，因而基本事件是等可能的。练习：在等腰宜角三角形ABC+,过顶点C在ZACB内作一条射线CD与线段AB交于D,求AD

5、件A构成的区域，所以2P(A)=67.5°~9(FAT警示:此题易错解为:在线段AB上任取一点E,使AE=AC,则事件A发生的概率为P(A)=——=—AB2错误在于对儿何概型的概念把握不准确，即射线CD在乙4CB内是均匀分布的，它与AB的交点D在AB上不是随射线均匀分布的，即点D落在AB±任何一个位宜的可能性不同，故不应用线段长度作儿何度最，而应用角度作集合度最。典型例题三：与面积有关的儿何概型甲乙两艘伦船事项一个不能同时停泊两艘伦船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等町能性的，求:如果甲船和乙船停泊时间均是4个小吋，它们中任何一条船不需要等待码头空出的

6、概率。分析：甲乙两艘船在一昼夜的任何时刻刻到达，可用平面直角处标系的x轴衣示甲船到达码头的时刻，用y轴表示乙船到达码头的时刻，则x轴O到24与纵轴O到24的正方形屮的任意一点的坐标(x,y)就表示卬乙两艘船的到达时间，而两艘船不需要等待时间由x-yA4所对应的途中的阴影部分表示，山于每船到达的吋间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能的，所以是与而积有关的儿何概型问题。解：设甲乙两艘船到达的时刻分别是X』，则所有的实验结果构成集合0=(»)0

7、x-y

8、

9、>4则=24x24,SA=

10、x20x20x2>O画图如下:—x20x20x22气所以甲乙两船均不需等待的概率为P(A)=2324x2436小结：1.涉及两个独立变量的时候，可用点（x,y）表示，把单独变量的长度问题转化为平面图形的二维而积问题，即而积有关的儿何概型问题。2.求与面积有关的儿何概型问题的一般步骤：①设点（x,y）;②写出所有试验结果构成的集合0,罗列其条件，用二元一次不等式组表示，再写出所求事件形成的集合A.③把集合G、A用平而区域來表示即画图;④求S。、S八⑤求P（A）=^Sq练习：将长为1的木林随机折成三段，求三段构成三角形的概率。解：设

11、事件A二“3段能构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长,则第三段