考研高数系统分析

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1、lim"=0」im«-V->-o0XT+00=oo,limx'=ljimxlnx=0A->0*本文可免费下载，只需在本平台注册并通过邮箱验证-会员中心-〉个人设置”页面的“发送认证邮件，即可获得50积分（没有积分的朋友可以收藏或分享本文、订阅此刊，方便以后阅读）高等数学系统复习第一章极限与函数连续性1.1基本概念与内容提要1）•极限存在的条件：左极限等于右极限。相关联的题型：（1）函数连续性和可导性的判断及应用；（2）求函数的间断点：①第一类间断点（左右极限存在人a>可去间断点:左右极限存在且和等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b>跳跃间断点:左

2、右极限存在但不相等。②第二类间断点：除第一类间断点以外所有的间断点；（3）用定义求导数，若lim（兀）一/（必）存在，则函数在％处可导且/（勺）=lim/（兀）一/（勺）。X—XqXT兀X—Xq所以，判断可导性就是判断极限lim/（"）_/（勺）是否存在;⑷求函数的渐近XTX。X-X0线：①水平渐近线:lim/（x）=A,则y二A是f（x）的水平渐近线；②铅直（垂直）渐近线：lim/（%）=oo,贝ijx=x0是y=/（尢）的铅直（垂直）渐近线；③斜渐近线：y=b+b其中k=lim‘⑴,b=lim「/（x）-如；④斜渐近线最多兀T8XXT8L•洛比达法

3、则（重点）•等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小人等价无穷小是指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小I大I式代」有两条，水平渐近线最多有两条，水平渐近线与斜渐近线的总条数最多有两条。2）•连续函数的极限3）•常用极限：limV^=l（a>O）,limVn=1,limtirecotx=0,“Too/H->00X-»+8“-7171.r—XT-00arctanx=-,hmarctanx=--4）•极限的四则运算5）・极限存在准则（夹逼定理、单调有界定理）6）•两个重要极限及其变形:limx->0sinx=1,1卯(1+x

4、)v=e替。常用等价无穷小：当xtO时，sinxx,tanxx,ex-1兀,ln(l+x)x,1-cosx-1ax,ax-1兀lna,VT+x-l—兀，arcsinx兀,arctanxx。注意：高阶无穷小、k阶无穷小的判断及应用。补充：无穷大量比较：①当时，无穷大的阶数曲低到高排列为：lnn,na(a>0),力"(0>a>0),a"(a>1)”；②当x->oo时，无穷大的阶数由低到高排列为：lnx,屮(a>O),x"(0〉a>0),aA(a>l),xA。9)•利用泰勒公式、中值定理求极限，求极限常用边克劳林公式为：1+-+—+—+r?1!2!n2!4!

5、(2町!tunx—x-—兀‘H%5ox315'■=1+兀++…+兀"+o(兀")1X10)•利用定积分的定义求极限11)证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法:若级数工(色收敛，则lima”存在④级数收敛的必要条件：若级数工％收敛，贝ijliman=0o补充：给定数列{%},贝Slim%存在的充要条件是级数工(％-色_1)收敛。所以，判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。12)抓大头公式：limX-»00X+ClX1+…+Q()i川b(.xm+b.xn~x+・・・+b01n—,n=m=

6、值定理求极限：关键是将欲求的极限写成屮值定理的形式。14)利用级数收敛的必要条件求极限：若£/(町收敛，则71=1oo昇2>mlimf(7i)=limf(x)=0ns'7x->oo'7求极限可以转化为求定积分、判断级数的敛散性等。tanx^sin.v-e例1：lim-x_>0x-sinx解：方法一：由拉格朗日小值定理得严Kn〃=/(tanx—sinx),其小纟在sin兀与tanx之间，当xtO时严”_严丫(tanx-sinx)sec2x-cosx/.lim=lim=lim5x-sinx”ax-sinxx"1-cosxlimsec2xlim-―C°SX=l

7、im(l+cosx+cos2兀)=3—051_cosx7方法二：先处理一卜，在使用等价无穷小和洛比达法则tanx-sinx-=lim=3xto%-sinxtanx_sinx£血入(^tanx-s^nv_

8、x-sinxlim=lim%T°x-sinxato例2.求limP—"T8JO1+%解:珂0勻使得Fif严2(1+0/•lim"T8dxlimHT82(1+0例3•设Dr:x2+y20*Acos(x+y)dxdy二解：日(§,77)e使得\e~xycos(x+y)dxdy=7ir~e~^~~rrcos(g+7/),当r^0+时

9、(仙)—(0,0),COS(g+")=71cos(兀+y)dxdy=lim龙丘一