高考难点放缩法

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1、高考专题一放缩法・先求和后放缩例1.正数数列仏｝的前〃项的和S”，满足2屁试求：(1)数列仏｝的通项公式；(2)设btl=,数列｛仇｝的前斤项的和为B”，求证：Bn<-W+i2解:(1)由已知得4S”=@”+l)2,n>2时，45^=(^_1+1)2,作差得：4an=a：+2an-a；［-2%,所以(％+an_｛)(aH-an_｛-2)=0,又因为｛a“｝为正数数列，所以an-an_x=2,即血｝是公差为2的等差数列，由2阿=坷+1,得=1,所以an=2n-(2)b,t=aHall+}=(2/?-1)(2h+1)=2-1_2a?+?*所以B=(I—+——•••■)=—■v“23352/7-

2、12〃+122(2〃+1)2注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前料项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差比数列，即指数列｛%｝满足条件atl+l-aH=f(n))求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法來求和.二.先放缩再求和1.放缩后成等差数列，再求和例2.已知各项均为正数的数列｛©｝的前n项和为S”，且比+山=2Sn.22(1)求证：(2)求证:青<禹+7^"+…+虑V'g1解：(1)在条件屮，令H=1,得d；+G]=2S]=2d],•/G]>0・•・Q]=1,又由条件a；+cin=2Sn有a；

3、]+af}+[=2Sfl+[,上述两式相减，注意到an+]=Stl+]一Stl得所以，Q”=1+1XS—1)=71,S”二"S+D(2)因为料VJ〃(n+1)Vn+1,n所以专vn{n+1)vn+11x22x3n24-3/75H+1-12V2~V2曲+医+…妊七煌+•••+才册总+•••+巴凹—...+罕12V2V272V21.放缩后成等比数列，再求和例3.(1)设a,nGN：a》2,证明：d"—(―d)"»(d+1)•d"；(2)等比数列｛為｝屮，坷=-£，前斤项的和为血，且加，金，金成等差数列.设"=上」,数列｛仇｝前兀项的和为B“，证明:Bn<-.1一色3解：(1)当〃为奇数时,a%,

4、于是，a2n-(-a)n=aan+1)>(a+1)•an.当八为偶数时，且畑孑,于是a2n-(-ay=an(an-})>(a2一1)-an=(d+l)(a一1)•a"n(a+1)•q".14"-(-2)"<3・2〃2(2)TAg—A,=还+偽，人一&=-a9,兔+偽=-a9,・••公比q=也~=——.兔2+乞+••以占+占+•••+占冷2.放缩后为差比数列，再求和n例4.己知数列｛匕｝满足：％=1,an+l=(1+—(«=1,2,3•••)•求证：、°〃+1d“+i>a”一3-2“tYl证明：因为=(1+—X，所以C伽与匕同号，又因为4=1>0,所以色>0,2n即an+｝-an=-^an>

5、0,即a沖>山・所以数列｛。”｝为递增数列，所以Hnnn印曰、12n-即arl^-an=—an累加得：an-ax7+++-12—I——+…+222n--l所以扛1212+—+•••+23n-2n两式相减得:“丿+丄+'•••+丄222223"T,所以S/2—叫八2z77+1所以^>3-^-4”2"一故得％〉久》3-胃•1.放缩后为裂项相消，再求和例5.在加G22）个不同数的排列PR…P”中，若UiVjWm时P>Py（即前面某数大于后面某数），则称Pi与片构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列5+1加（“-1）・・・321的逆序数为如如排列21的逆序数5=1

6、,排列321的逆序数（1）求他、血，并写出0“的表达式;（2）令b”=上S-+仏丄，证明2斤v也+人+…仇V2〃+3,兀=1,2,・・・.©+】an解(1)由已知得a4=10,6?5=15,an=z2+(n—1)H2+1="""十.⑵因为2土+十dr字所以勺+b2+…+乞>2m•厂r~i7卩HX+2r22,r又因为仇=1=2,n=12…，71+2nnn+2所以仇+b,+•••+/?”=2n+2[(---)+(--丄)+•••+(丄)]〜1324n222=2/?+3v2/t+3.〃+1〃+2综上,2/2

7、+筠+…b”v2〃+3,m=1,2,….注：常用放缩的结论：⑴卜订r詁『护站r占-扣

8、沙(2).2(-L=2——<-^=<2——=2(-^--^=^>2)4k+14k+Qk+14k4k+』kQk一14k练习1已知数列｛a“｝满足:a产1且2an-3an_.=-^（n>2）.（1）求数列｛a〃｝的通项公式；I丄m£一1(2)设mGN.,m>n>2,证明(az+一)w(m-n+1)