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《2019_2020版高中数学模块复习课第3课时圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题练习新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3课时 圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题课后篇巩固提升1.已知椭圆C的短轴长为2,左、右焦点为F1、F2.椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为25+4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设P为椭圆C上一动点,求PF1·PF2的取值范围.解(1)由题意可得2b=2,a2=b2+c2,2a+2c=25+4,解得a=5,b=1,c=2,故椭圆的方程为x25+y2=1.(2)设P(5cosθ,sinθ),F1(-2,0),F2(2,0),则PF1=(-2-5cosθ,-sinθ),PF2=(2-5cosθ,-sinθ),∴PF1·
2、PF2=5cos2θ-4+sin2θ=-3+4cos2θ.∵0≤cos2θ≤1,∴-3≤-3+4cos2θ≤1,故PF1·PF2的取值范围为[-3,1].2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的点,△PF1F2面积的最大值是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于M,N两点,点D是椭圆C上的点,O是坐标原点,若OM+ON=OD,判定四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.解(1)由ca=22,bc=2,a2=b2+c2,解
3、得a=2,b=c=2,得椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-1或x=1,此时四边形OMDN的面积为6.当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,联立椭圆方程y=kx+m,x24+y22=1⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,Δ=8(4k2+2-m2)>0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-41+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2,
4、MN
5、=1+k2×224k2+2-m21+2k2,点O到直线MN的距离是d=
6、m
7、1+k2,由
8、OM+ON=OD,得xD=-4km1+2k2,yD=2m1+2k2,因为点D在曲线C上,所以有(-4km1+2k2) 24+(2m1+2k2) 22=1,整理得1+2k2=2m2.由题意四边形OMDN为平行四边形,所以四边形OMDN的面积为S四边形OMDN=
9、MN
10、d=1+k2×224k2+2-m21+2k2×
11、m
12、1+k2=22
13、m
14、4k2+2-m21+2k2,由1+2k2=2m2得S四边形OMDN=6,故四边形OMDN的面积是定值,其定值为6.3.抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2
15、)(x1≠x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且
16、AF
17、+
18、BF
19、=8.(1)求p的值.(2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点?若是,求出交点坐标;若不是,说明理由.(3)求直线l的斜率的取值范围.解(1)因为抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,所以由y2=2px,y=x+1得y2-2py+2p=0(p>0)有两个相等实根,所以Δ=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2.(2)抛物线y2=4x的准线x=1.且
20、AF
21、+
22、BF
23、=8,所以由定义得x1+x2+2=8,则x1+x2=6.设直线AB的
24、垂直平分线l与x轴的交点C(m,0).由C在AB的垂直平分线上,从而
25、AC
26、=
27、BC
28、,即(x1-m)2+y12=(x2-m)2+y22,所以(x1-m)2-(x2-m)2=y22-y12,即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2).因为x1≠x2,所以x1+x2-2m=-4.又因为x1+x2=6,所以m=5.所以点C的坐标为(5,0).即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点(5,0).(3)设直线l的斜率为k1,由(2)可设直线l方程为y=k1(x-5).设AB的中点M(x0,y0),由x0=x1
29、+x22=3,可得M(3,y0).因为直线l过点M(3,y0),所以y0=-2k1.又因为点M(3,y0)在抛物线y2=4x的内部,所以y02<12.即4k12<12,则k12<3.因为x1≠x2,则k1≠0.所以k1的取值范围为(-3,0)∪(0,3).4.如图所示,A,B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是
30、AF
31、与
32、FB
33、的等差中项,3是
34、AF
35、与
36、FB
37、的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于
38、点Q.(1)求椭圆C的方程;(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.解(1)由题意得
39、AF
40、=a+c,
41、FB
42、=a-c,即(a+c)+(a-c)=2,(a+c)·(a
