11.6高斯公式

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1、§11.4与§11.5内容回顾1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用对称性、形心公式(线性函数的积分)•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)第二类曲面积分的计算一看尾无谁换谁;顺谁投影得区域;最后看侧定符号;正(前右上)、负(后左下).(上正下负)3.性质:4.联系:其中对坐标的(3条):线性运算性质;可加性;有向性.有向曲面指定侧的法向量的方向余弦.对面积的(8条)思考与练习1.P228题2提示:设则取上侧时,取下侧时,2.P184题1．3.P167题3(3)是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P

2、228题3(3).设一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件(略)三、通量与散度(简介)11.6高斯公式通量与散度第十一章高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.高斯(1777–1855)高斯学习非常勤奋，11岁时发现了

3、二项式定理，17岁时发明了二次互反律，18岁时发明了用圆规和直尺作正17边形的方法，解决了两千多年来悬而未决的难题。21岁大学毕业，22岁时获博士学位。1804年被选为英国皇家学会会员。从1807年到1855年逝世，一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。他还是法国科学院和其他许多科学院的院士，被誉为历史上最伟大的数学家之一。他善于把数学成果有效地应用于天文学、物理学等科学领域，又是著名的天文学家和物理学家，是与阿基米德、牛顿等同享盛名的科学家。高斯(1777–1855)高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有“数学王子”、“数学家之王”的美称、被认为是人类有史

4、以来“最伟大的三位（或四位）数学家之一”（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。人们还称赞高斯是“人类的骄傲”。天才、早熟、高产、创造力不衰、……，人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过份.高斯(1777–1855)高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18----19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头

5、就是高斯。高斯(1777–1855)在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他力面去。　　在1855年二月23日清晨，高斯在他的睡梦中安详的去世了。一、高斯公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则

6、有(高斯公式)证明:设则为侧面.：XY–型区域所以若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证高斯公式：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上高斯公式的实质:使用高斯公式时应注意:1.的搭配及对什么变量求偏导数;2.是否满足高斯公式的条件；3.Σ是取闭曲面的外侧.的曲面积分之间的关系,高斯公式两类曲面积分的关系常用于计算曲面积分(反用).(如上次例１的方法2)(内侧时:…)例1.用高斯公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用高斯公式,得原式=(先二

7、后一)及平面z=0,z=3所围空间思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?(均比教材上快捷,注意体会!)(不变)例1.用高斯公式计算其中为柱面外侧.解:这里利用高斯公式,得原式=介于平面z=0与z=3之间的记Σ1,Σ2为…如图，例2.利用高斯公式计算积分其中为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为,则zDz注：x、y的积分为零;先二后一比教材上的先一后二简单.例3.设为曲面取上侧,求解:作辅助面(下侧)用极坐标解:作辅助面(上侧)例4.计算其中旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.2在