高等数学11.6高斯(gauss)公式

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1、§6.高斯(Gauss)公式一、高斯公式定理1(高斯定理):设空间有界闭区域,其边界为光滑或者分片光滑闭曲面,P(x,y,z),Q(x,y,z),PQRR(x,y,z)及其一阶偏导数,,在上连续,则xyzPQR()dVPdydzQdzdxRdxdyxyz其中取外侧.公式称为高斯(Gauss,1777-1855,德国)公式.一、高斯公式PQR()dVPdydzQdzdxRdxdyxyz其中取外侧.由两类曲面积分之间的关系得高斯公

2、式的另一种形式：PQR()dvPdydzQdzdxRdxdyxyz(PcosQcosRcos)dS.其中，，为曲面的外法线方向的方向角.Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.PQR()dVPdydzQdzdxRdxdyxyz证明:R只证dVR(x,y,z)dxdy类似的可证：zQPdVQdzdxdVPdzdyyx设

3、区域具有特点:穿过的内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲面恰好交于两点,即:z12321:zzxyxyD(,),(,),下侧;132:zz2(x,y),(x,y)D,上侧1yoDxyx3z:1(x,y)zz2(x,y),(x,y)D,外侧.PQRPdydzQdzdxRdxdy()dVxyzΣ2:zz2(x,y)Rz2(x,y)zdVdxdyRzdzΣ:zzz,2z312Dz1(x,y)(x,y)D3x

4、y[(,,Rxyz(,)xy)]21DyoRxy(,,z(,)xy)]dxdy1Σ:zz(x,y)x11RdxdyR(,,)xyzdxdyR(,,)xyzdxdy12321[]Rxyzxy(,,(,))R(,,(,))xyzxydxdy21DRdvRx(,,)yzdxdy.z同理有其他二式成立，相加即得公式。当区域不具有上述特点时,可用适当的曲面对进行分割,使得在每一个小区域具有上述特点,再利用三重积分及第二类曲面积分的性质,相加即

5、知公式仍然成立.如:(PQR)dVPdydzQdzdxRdxdyxyz对图中区域,可添加曲面(上侧),32z,,21212311113,,223Oyx(PQR)dVPdydzQdzdxRdxdyxyz对图中区域,可添加曲面3(上侧),12,,12113,2,232z21231

6、1132312yOx定理1(高斯定理):设空间有界闭区域,其边界为光滑或者分片光滑闭曲面,P(x,y,z),Q(x,y,z),PQRR(x,y,z)及其一阶偏导数,,在上连续,则xyzPQR()dVPdydzQdzdxRdxdyxyz其中取外侧.使用Guass公式时应注意:1.P,Q,R是对什么变量求偏导数;2.是否满足高斯公式的条件;3.是闭曲面取外侧.二、Gauss公式的简单的应用PQR()dVPdydzQdz

7、dxRdxdyxyz高斯公式的用法与格林公式的用法完全类似.一般是用三重积分计算第二类曲面积分.z例1计算曲面积分(xy)dxdy(yz)xdydz22其中Σ为柱面xy1及平面z0,z3所围成的空间闭yo1区域的整个边界曲面的外侧.x解P(yz)x,Q0Rxy,例1计算曲面积分PQR()dV(xy)dxdy(yz)xdydzxyzx2y2PdydzQdzdxRdxdy其中Σ为柱面1及平面z0,z3所围成的空间闭Rxy,Q

8、0区域的整个边界曲面的外侧.PQRP(yz)x,yz,0,0,xyz()()xydxdyyzxdydzz()yzdxdydz()zdxdydz339dxdy.dzz()zd