高等数学高斯公式.ppt

《高等数学高斯公式.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、高斯公式物理意义---通量与散度小结思考题作业fluxdivergence第六节高斯(Gauss)公式通量与散度高斯Gauss,K.F.(1777–1855)德国数学家、物理学家、天文学家1格林公式把平面上的闭曲线积分与本节的高斯公式表达了空间闭曲面上的曲面积分与曲面所围空间区域上的它有明确的物理背景—三重积分的关系.所围区域的二重积分联系起来.通量与散度.高斯(Gauss)公式通量与散度2一、高斯公式高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801–1861具有则有公式一阶连续偏导数

2、,或高斯公式外侧,高斯(Gauss)公式通量与散度3证明思路分别证明以下三式,从而完成定理证明.只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.高斯(Gauss)公式通量与散度4证设空间区域Ω母线平行于z轴的柱面.即边界面三部分组成:(取下侧)(取上侧)(取外侧)高斯(Gauss)公式通量与散度5由三重积分的计算法投影法(先一后二法)高斯(Gauss)公式通量与散度6由曲面积分的计算法取下侧,取上侧,取外侧一投,二代,三定号高斯(Gauss)公式通量与散度7于是高斯(Gauss)公式通量与散度8同理合并

3、以上三式得自己证高斯公式高斯(Gauss)公式通量与散度9高斯(Gauss)公式通量与散度若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把Ω分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消.因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正确的.10由两类曲面积分之间的关系知高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算.一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关

4、系.高斯(Gauss)公式通量与散度高斯Gauss公式的实质11解球例外侧.因Σ是闭曲面,可利用高斯公式计算.高斯(Gauss)公式通量与散度12使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清是对什么变量求偏导;(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了的取向,注意是取闭曲面的外侧.高斯公式高斯(Gauss)公式通量与散度13有时可作辅助面,(将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分,然后利用高斯公式.对有的非闭曲面的曲面积分,高斯(Gauss)公式通量与散度14例计算曲面积分之间下侧

5、.的法向量的方向余弦.高斯(Gauss)公式通量与散度部分的解空间曲面Σ在xOy面上的曲面不是为利用高斯公式.投影域为补构成封闭曲面,使用高斯公式.封闭曲面,15由对称性高斯(Gauss)公式通量与散度先二后一法16故所求积分为高斯(Gauss)公式通量与散度yxyxSdddd001d=++=17练习利用高斯公式计算三重积分提示则取高斯(Gauss)公式通量与散度考虑到选取相当自由，18由高斯公式极坐标高斯(Gauss)公式通量与散度19被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.如直接计算分析用高斯

6、公式.例Σ是锥面所围立体的表面计算设f(u)是有连续的导数,计算和球面及外侧.高斯(Gauss)公式通量与散度20解由于故由高斯公式=球高斯(Gauss)公式通量与散度21解(如图)练习计算曲面积分绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角绕y轴旋转高斯(Gauss)公式通量与散度22取右侧.有高斯公式柱坐标高斯(Gauss)公式通量与散度23取右侧故高斯(Gauss)公式通量与散度241.通量为向量场设有一向量场则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:通量.fluxdiverg

7、ence穿过曲面Σ这一侧的高斯(Gauss)公式通量与散度二、物理意义通量与散度上式即为通量的计算公式252.散度设有向量场为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面它所围成的小区域及其体积记为表示内穿出的通量,若当缩成P点时,极限高斯(Gauss)公式通量与散度记为散度.存在,则该极限值就称为向量场在P点处的即26散度的计算公式设均可导,点处的散度为高斯公式散度：单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。27例向量场解高斯(Gauss)公式通量与散度28练习设函数解先求梯度高斯(

8、Gauss)公式通量与散度29再求的散度.高斯(Gauss)公式通量与散度设函数30高斯Gauss公式物理意义--通量与散度高斯(Gauss)公式通量与散度三、小结表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯Gauss公式的实质(注意使用的条件)31思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？高斯(Gauss)公式通量与散度解答曲面应是分片光滑的闭曲面.32作业习题11-6(236页)1.(1)(3)(5)高斯(Gauss)公式通量与散度33