高斯(Gauss)过程

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1、中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞第六章高斯（Gauss）过程（一）多元正态（Gauss）分布1．元正态分布的定义定义：设是元随机向量，其均值为，其中，令：则可得的协方差矩阵为：，注意矩阵为一非负定对称矩阵，我们有如下的定义：（1）如果是一正定矩阵，则元随机向量服从正态分布时的概率分布密度为：其特征函数为：(A)元随机向量服从正态分布记为：。（2）如果不是一正定矩阵，则由（A）可以定义一特征函数，由此特征函数对应的分布函数我们定义为元正态分布，仍记为。2．元正态分布的边缘分布定理：设为服从元正态分布

2、的随机向量，即，则的任意一个子向量仍服从正态分布。中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞3．元正态分布的独立性定理：元正态分布的随机变量相互独立的充分必要条件是它们两两不相关。定理：设为正态分布的随机向量，且其中：分别是的协方差矩阵，是由及的相应分量的协方差构成的矩阵，，则与相互独立的充分必要条件是。4．正态随机变量线性变换后的性质（1）设，，，，则有，。（2）令，，则有：（3）的充分必要条件是：（4）若，为任意的矩阵，则有：为服从元正态分布，即。（5）若，则存在一正交矩阵，使得是一独立正态分布的随机向

3、量，它的均值为，方差为矩阵的特征值。中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞5．例子l设为服从正态分布的随机向量，且，试证明：证明：见教材P466。注意：此结论非常重要，经常会被应用。l设是服从均值为零的正态分布二维随机变量，其联合概率密度为：则其中：。证明：由联合分布可以求得边缘分布和条件分布为：由此可得：因此，我们有：中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞另外令：则有：令：则有：中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞因此有：其中：。（一）高斯过程定义：如果随机过

4、程的有限维分布均为正态分布，则称此随机过程为高斯过程或正态过程。正态过程是二阶矩过程。设，则由正态过程的定义，有：其中：如果为实的宽平稳过程，则为常数，中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞，因此可得有限维分布的特征函数为：由此，实平稳正态过程也是实严平稳过程。关于正态过程我们有以下的结论。定理：设为维实正态随机向量序列，其中，且均方收敛于，即则也是正态分布的随机向量。定理：若正态过程在上是均方可导的，则也是正态过程。定理：若正态过程在上是均方可积的，则及也是正态过程。（一）正态马氏过程定义：若正态过程

5、又是马尔可夫过程，则称为正态马尔可夫（马氏）过程。先考虑维均值为零的正态随机向量的条件分布，设为维正态分布，其分布密度为：中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞其中：为正定对称矩阵。考虑在条件下的条件分布密度：利用式子：我们有：其中是归一化常数，与无关。由此可知，在给定条件下的条件分布密度是一正态分布的概率分布密度，其均值为，于是有：（B）中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞（C）若为一均值为零的实正态过程，记：则有以下的定理。定理：设为一均值为零的实正态过程，则它是马氏过程的充要

6、条件为：对于任意的，有：定理：设为一均值为零的实正态过程，则它是马氏过程的充要条件为：对于任意的，有：证明：充分性：设为马氏过程，任取，则由（B）有：（D）考虑的联合分布，其分布密度为：其中：由（D）有：中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞即：由马尔可夫性，有：由上式，我们有：由此得到了。必要性：由，可得，对于任意的，有：即有：因而对于任意的，有：这就意味正态随机变量与相互独立，故有：即有：中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞必要性得证。对于平稳随机正态序列及平稳正态随机过程的情

7、形，我们有：定理：设为正态分布、平稳的随机序列，且，则是马氏链的充分必要条件是：其中：为的协方差函数。定理：设为一均方连续、平稳的实正态过程，为其协方差函数，则该过程是马氏过程的充分必要条件为：（一）窄带平稳实高斯过程1．一维包络分布和一维相位分布由前面关于窄带平稳信号的表示法，我们有：及其中：,为的Hilbert变换。若为一窄带平稳的实正态过程，则由以上两组表达式可知，均为正态过程，且是联合正态过程（为什么？）。例：设有线性系统，它的冲激响应为，输入为实平稳正态过程中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应

8、飞。设其输出为，试证明、为联合正态随机过程。证明：由线性系统输入、输出的关系：可知为实正态随机过程。令：其中是一任意实函数。则为一正态分布随机变量。定义实函数：则有：由于、、为任意的实函数，而为一正态分布随机变量，因此、为联合正态随机过程。下面研究窄带平稳实高斯过程的一维包络分布和一维相位分布：设的相关