线性代数--高斯(Gauss)消元法.ppt

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1、§4.2高斯(Gauss)消元法一、线性方程组的初等变换二、高斯(Gauss)消元法三、线性方程组求解结果的一般性讨论(1)交换两个方程；(3)将一个方程的k倍加到另一个方程上。(2)将某个方程k倍；称之为线性方程组的初等变换.对线性方程组进行等价(或同解)变形：一、线性方程组的初等变换在线性方程组的求解过程中,定义可使用如下三种变换手段P114定义4.2引例求解线性方程组②③①①②③②③①②③①①②③①③①“回代”求解得：继续“消元”得：启示令而未知量并不需要参与运算。事实上，从上述对线性方程组的求解过程

2、中可知：真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项，则对方程组的变换完全可以化为对矩阵的变换。①②③①②③①引例(续1)②③①②③①②③①②③①引例(续2)③①②③①(1)对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,1.高斯消元法(2)通过回代求出相应的解。(1)对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,2.高斯-若当消元法(2)再进一步化为行标准形，(3)直接写出相应的解。二、高斯(Gauss)消元法初等行变换求解线性方程组例解故方程组有惟一解解线性方程组例初等行变换相应地，线性方程组变为进一步，线性方程组变为解(1)

3、(2)可知方程组有无穷多解，解线性方程组例解即其中x2为自由未知量。(k任意)注意体会求解“结果”的写法及表达方式。即对任意的x2，有解的三种可能情况:解线性方程组例初等行变换解相应地，线性方程组的最后一个方程变为这是一个矛盾方程，因此原方程组无解。在用消元法求解的过程中，很自然地出现了线性方程组启示无穷多解。无解；惟一解；0=1,对于给定的线性方程组AX=b，利用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵：三、线性方程组求解结果的一般性讨论补对于给定的线性方程组AX=b，三、线性方程组求解结果的一般性讨论相应

4、地，线性方程组变为三、线性方程组求解结果的一般性讨论1.第一种情况方程组中出现矛盾方程若因此，方程组无解。三、线性方程组求解结果的一般性讨论1.第一种情况若方程组中出现矛盾方程注即此时，方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩.若dr+1=0且r=n，方程组具有形式三、线性方程组求解结果的一般性讨论2.第二种情况由克莱姆法则，方程组有唯一解。若dr+1=0且r=n，方程组具有形式三、线性方程组求解结果的一般性讨论2.第二种情况此时，方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩n.注即若dr+1=0且r

5、式三、线性方程组求解结果的一般性讨论3.第三种情况若dr+1=0且r

6、、线性方程组求解结果的一般性讨论3.第三种情况其中任意取值。记令得到通解为方程组有无穷多解：若dr+1=0且r