分析力学五二

《分析力学五二》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§1.5.2刚体的运动方程刚体：6个自由度自由度数目减少例子：绕固定点的转动——3个自由度；定轴转动——1个自由度。在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力但：由拉格朗日方程不容易得到约束反力(以前仅讨论理想约束)办法：回到牛顿表述一、动量定理定点转动角动量定理刚体：特殊的质点组考察刚体整体运动R0：质心在静止系中的矢径。对第a个质点：其中ra：以质心为原点的运动坐标系的矢径。因为所以作和其中——对固定点o的总角动量——对固定点o的总力矩——对固定点的角动量定理以质心为坐标原点时(仍在惯性系中)，有对上式作和又则令则——对质心的角动量定理描述

2、刚体的运动方程组为二、刚体的静平衡平衡时——平衡方程例题：见p88[例1]三、刚体的动平衡(见p88，略)四、刚体绕定点的自由运动刚体绕定点的自由运动：不受外力或外力通过固定点(例子：地球的公转、分子的转动)此时有(外力为零时。质心：匀速运动)(绕质心的转动，且角动量守恒)设e1、e2、e3为三个惯量主轴方向，I1、I2、I3为沿这三个主轴的转动惯量，则讨论：1.I1=I2=I3——球对称陀螺(任意选取三个相互垂直的轴作惯量主轴)此时：2.I1=I2=I，I3=0——转子即：L在x1x2平面内，⊥ox3。3.I1=I2≠I3——对称陀螺(I1≠I2

3、≠I3：不对称陀螺)(例：扁平均匀球体的地球就是一个对称陀螺)此时：平面x1x2内的任一轴都是主轴。选ox3轴在屏幕所在平面(ox3垂直x1x2平面)，同时取L也在屏幕平面。将分解到x3和L的方向上，分别称为和，并设它们之间的夹角为，显然有在同一平面ox1x3另取ox2⊥LL2=0L在ox1x3平面内，L与ox3的夹角：L与ox1的夹角：L在ox1轴的投影：由图：在ox1上的分量相等(在ox1轴无分量)则又不变(对做自由运动的对称陀螺，可由后面的欧拉动力学方程证明此结果，见PPT：p29)L与ox3轴的夹角不变规则进动：对于对称陀螺自由转动，有绕o

4、x3转动+ox3轴绕空间固定轴(L轴)进动，且ox3与L之间的夹角保持不变(见前面图3)。五、欧勒运动学方程对称陀螺的基本运动有(1)刚体绕对称轴的自转；(2)自转轴绕空间固定轴的进动(precession)；(3)自转轴和固定轴间夹角的章动(nutation)。用欧勒角描述这三种运动：设：o——固定点；oz：固定轴：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角；：进动角速度——沿oz方向；：刚体绕ox3转过的角度——自转角；：自转角速度——沿ox3方向；：ox3和oz间的夹角——章动角；：章动角速度——沿oN方向。当时，当时，所以oM、oM'、oz、ox

5、3在同一平面，且有oM在水平面，oM'在平面1．在x1x2平面，它在x1、x2、x3的分量。由图4，有2．在ox3上的投影为：在oM'上的投影为：而ox1、ox2、oM'又在同一平面，再把沿oM'上的在ox1、ox2轴上进行分解，有这样在ox1、ox2的分量为3．沿ox3方向。于是在动坐标系ox1、ox2、ox3的分量为若：已知则：可计算六、欧勒动力学方程刚体的运动方程为而中不是常数，这样要得到M与的关系很困难。办法：建立运动坐标系——坐标轴沿三个惯量主轴方向此时：设：矢量A，：相对静止坐标系的改变量若：A相对于运动坐标系不变，则仅仅是由于运动坐标

6、系转动而引起的，故一般情况：A相对于运动坐标系改变，说明如下。设：K'、K分别为静止坐标系和运动坐标系，如图。现在K'、K系中分别求矢量A(t)随时间的变化率。i、j、k：K系中的单位常矢量i、j、k：对K'系不是常矢量，即在K'中对矢量A(t)=Ax(t)i(t)+Ay(t)j(t)+Az(t)k(t)求导，得：A在运动坐标系中的改变令A=L，得又所以对运动坐标系，有而——欧勒动力学方程应用欧勒动力学方程的例子：对称陀螺的自由运动当对称陀螺做自由运动时，根据欧勒动力学方程，有得到于是，有§1.5.3非惯性系中的运动若：将参考系固连在刚体上，只要刚

7、体不是作匀速直线运动，这一参考系为非惯性系。设：K0系——惯性系，K'系—相对K0系的速度为V(t)K系——相对K'系的角速度为则：K系——非惯性系要做的事：在K系中建立运动方程设：矢量A，——A在K'系中的导数，则令V0：质点对K0系的速度；v'：质点对K'系的速度；v：质点对K系的速度；V：K'系对K0系的速度。则上式右边各项再对时间求导，有其中惯性系中，有——非惯性系中的运动方程f：外力：平动加速度产生的惯性力：角加速度产生的惯性力：科里奥利力：惯性离心力:北半球上的科里奥利力：无论物体向哪个方向运动，科里奥利力总是指向物体行进方向的右侧，这

8、可以解释为什么在北半球河流右岸被冲刷得比较严重。赤道附近的信风(tradewind)：在赤道两边的低层大气中，北半球吹东北