2020版高考数学第四章正弦定理和余弦定理（第2课时）正、余弦定理的综合问题新题培优练文新人教A版

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1、第2课时正、余弦定理的综合问题[基础题组练]1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cosB＝，则△ABC的面积等于(　　)A．3　　　　　　　　　　B．C．9D．解析：选B.法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，代入数据，得a＝3，又cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，故选B.法二：由cosB＝，B∈(0，π)，得sinB＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sinC＝1，所以C＝，所以sinA＝cosB＝，所以S△ABC＝bcsinA＝，故选B.2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为

2、2，则c＝(　　)A．2B．C．2D．2解析：选D.由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.3．(2019·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sinA∶sinB＝1∶，c＝2cosC＝，则△ABC的周长为(　　)A．3＋3B．2C．3＋2D．3＋解析：选C.因为sinA∶sinB＝1∶，所以b＝a，由余弦定理得cosC＝＝＝，又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　)A．B．C．D．3解析：选B

3、.由余弦定理知cosA＝＝＝，所以sinA＝.所以S△ABC＝AB·AC·sinA＝×3×4×＝3.设边AC上的高为h，则S△ABC＝AC·h＝×4×h＝3，所以h＝.5．在△ABC中，A＝，b2sinC＝4sinB，则△ABC的面积为________．解析：因为b2sinC＝4sinB，所以b2c＝4b，所以bc＝4，S△ABC＝bcsinA＝×4×＝2.答案：26．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．解析：因为S△ABC＝·AB·ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，

4、所以BC＝.答案：7．(2017·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sinC＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8或b＝－5(舍)．所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.8．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.

5、解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝.(2)由cosB＝得sinB＝，故S△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.所以b＝2.[综合题组练]1．(2019·河北石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　)A．B．2C．3D．4解析：选D.在△ABC中，AB＝2，C＝，则＝＝＝4，

6、则AC＋BC＝4sinB＋4sinA＝4sin＋4sinA＝2cosA＋6sinA＝4sin(A＋θ)，所以AC＋BC的最大值为4.故选D.2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，AC＝2，BD＝2，∠ACD＝60°，则AD＝(　　)A．2B．C．D．13－6解析：选B.因为在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ACD＝60°，所以∠BAC＝60°.在△ABC中，AB＝1，AC＝2，由余弦定理，得BC＝＝，所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝∠BCD＝90°.在△BCD中，由勾股定理，得CD＝＝3，所以在△ACD中，由余弦定理，得AD＝＝.故选B.3．(2019·福建第一学期高

7、三期末考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(acosC－ccosA)＝b，B＝60°，则A的大小为________．解析：由正弦定理及(acosC－ccosA)＝b，得(sinAcosC－sinCcosA)＝sinB，所以sin(A－C)＝sinB，由B＝60°，得sinB＝，所以sin(A－C)＝.又A－C＝120°－2C∈(－120°，120°)，所以A－C＝30°，又A＋C＝120°，所以A＝75°.答案：75°4．在△ABC中，角A，B，