第11讲随机向量的概率分布

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1、概率论与数理统计第十一讲随机向量的概率分布经济数学基础教师：代金辉第十一讲随机向量的概率分布3.1二维随机变量及其联合分布3.2二维离散型随机变量3.1二维随机变量及其分布函数引言1二维随机变量定义3.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是两维随机变量.同理可定义n维随机变量(随机向量).3.1二维随机变量及其联合分布定义3.1.22联合分布函数F(x,y)=P(Xx,Yy)为(X,Y)的联合分布函数.(以下仅讨论两维随机变量)任对实数x和y,称注意：2F(x,y

2、)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率.1{(X≤x)∩(Y≤y)}={X≤x,Y≤y}；X1X2x1x2(x1,x2)联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调不减.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)=0，F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当a

3、布函数巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则YFY(y)=F(+,y).XFX(x)=F(x,+),边缘分布函数完全由联合分布函数确定解(X,Y)关于X的边缘分布函数3.2二维离散型随机变量若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.3.2.1二维离散分布的联合分布列称pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1y2…yj…x1x2…xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j…………

4、……pi1pi2…pij………………联合分布列的基本性质(1)pij0,i,j=1,2,…(2)pij=1.(非负性)(正则性)确定联合分布列的方法(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.(2)计算取每个数值对的概率.(3)列出表格.例1将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求(X,Y)的联合分布列.XY0413223140P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)==1/4=6/16P(X=3,Y=1)==1/4P(X=4,Y=0)=0.54=1/16P(X

5、=1,Y=3)=0.54=1/16解：概率非零的(X,Y)可能取值对为:其对应的概率分别为：X01234Y01234列表为：00001/160001/40006/160001/40001/160000例2设随机变量Y~N(0,1),解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(

6、Y

7、≥1,

8、Y

9、≥2)=P(

10、Y

11、≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(

12、Y

13、≥1,

14、Y

15、<2)=P(1≤

16、Y

17、<2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(

18、X1=1,X2=0)=P(

19、Y

20、<1,

21、Y

22、≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(

23、Y

24、<1,

25、Y

26、<2)=P(

27、Y

28、<1)=0.6826求的联合分布列.列表为：X101X2010.04550.271900.6826设二维离散型随机变量X和Y具有分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2,...)，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中和式是对一切同时满足xi≤x,yj≤y的来求和的.由联合分布列可求联合分布函数3.2.2边缘分布列巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则X

29、的分布列为：Y的分布列为：XY由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.注意点例3把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立,所以有用表格可如下表示作业习题1，2，3设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数p(x,y)，使得1联合密度函数则称(X,Y)为二

30、维连续型随机变量。称p(x,y)为联合密度函数。3.3二维连续型随机向量解(1)由得所以k=6(2)(2)3.2.3边缘密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，则X的密度函数为：Y的密度函数为：设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为p(x,y)则从而得到X和Y的概率密度函数分别为例3设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度.=5c/24=1,c=24/5由确定C解：(1)解:(2)注意取值范围xy01y=x注意积分限注意取值范围故