第2讲概率、随机变量及其分布

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1、第2讲　概率、随机变量及其分布【高考考情解读】　1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量分布列、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量分布列等，都属于中、低档题．1．随机事件的概率(1)随机事件

2、的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率P(A)＝＝.(3)几何概型的概率P(A)＝.2．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B

3、A)＝.3．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．4．独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.5．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,

4、2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.6．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表：ξx1x2x3…xi…Pp1p2p3…pi…为离散型随机变量ξ的分布列．(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)．(3)E(ξ)＝x1p

5、1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望．D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xn－E(ξ))2·pn＋…叫做随机变量ξ的方差．(4)性质①E(aξ＋b)＝aE(ξ)，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；③X～两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．7．正态分布：若X～N(μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ

6、.9544；③P(μ－3σ

7、其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P＝＝.(2)利用积分求出阴影部分的面积，应用几何概型的概率计算公式求解．∵S阴影＝ʃ(－x)dx＝＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为＝.(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性

8、．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(1)(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)A.B.C.D.答案　(1)　(2)C解

9、析　(1)P＝＝.(2)设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(

10、X－Y

11、≤2)＝＝＝＝.考点二　相互独立事件和独立重复试验例2　甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考