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1、第4章随机向量及其概率分布4.1随机向量的联合分布4.2边缘分布4.3条件分布4.4随机变量的独立性4.5随机向量函数的分布4.1随机向量的联合分布4.1.1二维随机变量的联合分布函数引例假设某商店一天内的顾客人数X服从参数为1000的Poisson分布；购买某种商品的人数记为Y，若每个顾客购买这种商品的概率为0.25，且各个顾客是否购买这种商品是相互独立的。求一天有m个顾客进入商店且有n个顾客购买这种商品的概率。定义设随机试验的样本空间为Ω，X、Y为定义在上Ω的随机变量，则称(X,Y)为一个二维随机向量。若(X,Y)是一个二维随机变量，则
2、称函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)(等式右边表示随机事件X≤x、Y≤y的乘积的概率)为随机变量(X,Y)的(联合)分布函数。二维随机向量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质：0≤F(x,y)≤1且F(-∞,y)=F(x,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1；当x固定时F(x,y)是y的单调不减函数，当y固定时F(x,y)是x的单调不减函数；F(x,y)最多有可列个间断点，且在间断点(x0,y0)处关于x和y都是右连续。例已知(X,Y)的分布函数为求：A、B；概率P(03、(X,Y)只可能取有限个或可列个值，则称(X,Y)为二维离散型随机向量。设二维离散型随机向量(X,Y)的一切可能取值为(xi,yi)，则称P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…为X与Y的联合分布律(列)或(X,Y)的概率分布。离散型随机向量的联合分布律的表示方法：公式法：P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…列表法：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………例从分别标有1,2,2,3,3,4的6个球中任取3个球，用X、Y分别表
4、示其中的最小号码和最大号码，求：X、Y的联合概率分布；概率P(X+Y>5)。离散型随机向量的联合概率分布的性质：pij≥0；p11+p12+…+p1n+p21+p22+…+p2n+…+pn1+pn2+…+pnn+…=1。4.1.3二维连续型随机向量定义对二维随机向量(X,Y)，若存在非负可积函数f(x,y)，有则称(X,Y)为二维连续型随机向量，f(x,y)为X与Y的联合概率密度函数或(X,Y)的密度函数，简记为(X,Y)~f(x,y)。连续型随机向量的密度函数f(x,y)的性质：f(x,y)≥0；例设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函
5、数为求：①A；②P(X+Y≤1)。定理若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)，联合分布函数为F(x,y)。则有例随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为求：①A；②P(X≤Y)；③(X,Y)的联合分布函数F(x,y)。例随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为求：①A；②P(X≤Y)。定义若随机向量(X,Y)的密度函数为则称随机向量(X,Y)服从D上的均匀分布。定义若随机向量(X,Y)的密度函数为则称随机向量(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ12,r)。4.2边缘分布4.2.1边缘分布函数定
6、义对二维随机向量(X,Y)，随机变量X、Y的分布函数称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。定理若(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则(X,Y)关于X的边缘分布函数为FX(x)=F(x,+∞)，(X,Y)关于X的边缘分布函数为FY(y)=F(+∞,y)。4.2.2二维离散型随机向量的边缘分布律定义若(X,Y)是二维离散型随机向量，则随机变量X、Y的概率分布称为(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布。定理若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…，则(X,Y)关于X的边缘概率分布为
7、pi·=P(X=xi)=pi1+pi2+…+pij+…，i=1,2,3,…，(X,Y)关于Y的边缘概率分布为p·j=P(Y=yj)=p1j+p2j+…+pij+…，j=1,2,3,…，求边缘概率分布时，可在表格上直接进行：YXy1y2…yj…pi·x1p11p12…p1j…p1·x2p21p22…p2j…p2·…………………xipi1pi2…pij…pi·…………………p·jp·1p·2…p·j…例若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右求(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布。例若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右求(X,Y)关于
8、X、Y的边缘概率分布。YX23410.20.250.05200.250.053000.2YX23410.10.250.1520.060.150.0930.040.10.064.2
