3随机向量及其分布

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1、第3章随机向量及其分布§1.随机向量及其联合分布1.随机向量定义1若随机变量X1(),X2(),…,Xn()定义在同一个概率空间(,F,P)上，则称X()=(X1(),X2(),…,Xn()),为n维随机向量或n维随机变量.显然，对xiR,有{

2、Xi()≤xi}F(i=1,2,,n),于是n{X1()≤x1,…,Xn()≤xn}={Xi()xi}F.i12.联合分布函数定义2x1,x2,…,xnR,称n元函数F(x)=F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn},x=(x1,x2,…,xn)Rn

3、为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的(联合)分布函数.y(x,y)2维随机向量:F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}x0联合分布函数F(x,y)满足(1)(非负性)P{x1

4、(4)(右连续性)F(x,y)关于x和y是右连续的.即(x0,y0)：F(x0+0,y0)=F(x0,y0)，F(x0,y0+0)=F(x0,y0).可以证明：满足非负性、单调性、有界性和右连续性的函数F(x,y)亦是某个二维随机向量(X,Y)的分布函数.3.联合分布列定义3若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限对或可列对(xi,yj),则称(X,Y)为离散型随机向量；称P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,)为(X,Y)的(联合)概率分布列.YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij

5、联合分布列{pij}(i,j=1,2,)满足：(1)pij≥0(i,j=1,2,)(非负性)(2)pij1(正则性)ij例1.一袋中有3个球，依次标有①②②三个数字，从袋中任取一球后，不放回再取一球.设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同，记X和Y分别为第一次和第二次取得的球上的数字，求(X,Y)的联合概率分布列.离散型随机向量(X,Y)，其分布函数为F(x,y)pij(x,y)xixyjy4.联合概率密度定义4对于二维随机向量(X,Y)，若存在非负可积函数p(x,y),使得x,yR，均有xyF(x,y)p(x,y)dxdy

6、则称(X,Y)为二维连续型随机向量；函数p(x,y)称为(X,Y)的(联合)概率密度函数.2F(x,y)若p(x,y)在点(x,y)连续，则p(x,y).xyp(x,y)满足：(1)p(x,y)≥0(非负性)(2)p(x,y)dxdy1(正则性)若给定p(x,y)，则对于GR2，有P{(X,Y)G}p(x,y)dxdyG例2.设(X,Y)的联合概率密度为C(6xy),0x2,2y4p(x,y)4y0,其他(1)求常数C；31(2)求P{X1,1Y3}；22(3)求P{XY3}.x+y=31O12x例

7、3.设(X,Y)的联合概率密度为(3x4y)12e,x0,y0p(x,y)0,其他试求(X,Y)的分布函数F(x,y).5.常见多维分布(1)多项分布(multinomialdistribution)若(X,Y)的联合分布列为P{Xk,Yk}n!pk1pk2(1pp)nk1k2121212k!k!(nkk)!1212其中k1,k2=0,1,2,…,n；0

8、6个球中恰有3个白球、1个黄球、2个红球的概率.记X=6个球中的白球数，Y=6个球中的黄球数6!312P{X3,Y1}(0.6)(0.25)(0.15)3!1!2!P{Xk,Yk}6!(0.6)k1(0.25)k2(0.15)6k1k212k!k!(6kk)!1212一般地，若X=(X1,X2,…,Xr)的联合分布列为P{Xk,Xk,,Xk}n!pk1pk2pkr1122rr12rk!k!k!12r其中k1+k2+…+kr=n,则称X服从r项分布，记为X~M(n,p1,…,pr).