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1、例淡转化在锐角三角函数中的运用■中学数学论文例淡转化在锐角三角函数中的运用徐进(常州市北环中学，江苏常州213017)摘要:转化是解决数学问题的一种重要的方法，初中数学的许多知识的学习都应用了转化思想。锐角的三角函数建立了三角形的边角关系，在应用中又建立起两个直角三角形的联系,转化在其中得到充分的体现。因此，在学习三角函数一章时，让学生体会转化思想，运用转化的方法解决问题,培养学生解决问题的能力。关键词:转化；锐角；三角函数中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-01-0059-01—、利用转化角求三角函数例1、如图1,在RMABC中,zACB=90
2、°,CD丄AB,垂足为D,CD=12,BD二5,求zA的三角函数。分析:要求zA的三角函数，在zA所在的两个直角三角形中都不具备求解条件,因此只有采用转化的方法，转化为求与zA相等角的三角函数，根据已知条件，不难发现zA=zBCD,于是在RfCBD中解决问题。li二、利用转化边的比求三角函数例2、如图2,在RtfABC中,AABC=90D是AB边的中点,DE1AC,垂足为&，；：二話，求亡0曲。分析:要求coM,就是要求霭或:；怎样将所要求的比与已旬比联系起来,通过△ABC®△,从而将未知比转化为已知比o三、利用边关系转化三角形解决实际问题(-)利用公共边从一个三角形转化到另一个三
3、角形例3、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点A观测气球,测得仰角为30°,然后他向气球方向前进了50m到B,此时观测气球，测得仰角为45。。小明如何计算气球的高度呢?分析:这是解直角三角形的一种基本类型z通过设两个直角三角形的公共直角边为x，如图3，在RfACD中表示AD,RfBCD中表示BD，通过AB+BD二AD建立方程,求出未知数解决问题。图4(二)利用等边从一个三角形转化到另_个三角形例4、如图4,水坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC的坡角c（为30。，背水坡AD的坡度i（即tanB）为1:1.2,坝顶宽DC二2.5m,坝咼4.5m•求（1）背水坡AD的坡角B
4、;（2）坝底宽AB的长。分析:无论从梯形的相关知识还是从解直角三角形的应用思考，都会想到作梯形的高，构造两个直角三角形，而这两个直角三角形有两个相等的边。于是在RfADF中求出DF,可以作为RfBCE中的已知条件，从而过渡到RfCEB。（三）利用边之间的联系,从一个三角形转化到另一个三角形中求解例5、如图5,在航线I的两侧分别有观测点A和B,点A到航线I的距离为2kmz点B位于点A北偏东60。方向且与A相距10km处.现有一艘轮船从位于点B南偏西76。方向的C处，正沿该航线自西向东航行,5min后该轮船行至点A的正北方向的D处。（江苏2009年中考）（1）求观测点B到航线I的距离;（2
5、）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）o（参考数据:3^1.73,sin76°«0.97,cos76°«0.24,tan76°«4.01）分析：要求船速必须求CD,求CD必须知道CE、DE，于是在PAO中求DO、AO,由AO求BO,过渡到aBEO中求OE,这些三角形的边之间都有着一些联系，利用这些关系串联起解题思路，由此解决问题。（四）化斜为直,构造有公共边的两个直角三角形例6、如图6,点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通,测得zABC二45。，zACB=30°,此公路是否会
6、穿过森林公园?请通过计算进行说明。分析:这一问题转化成有公共边的两个直角三角形，这也是解直角三角形中的一种基本类型,公共边是两个直角三角形过渡的桥梁。北A图7例7、如图7,甲、乙两只捕捞船同吋从虫港出海捕侑.甲船以每小时15Q千米的速度沿西偏北30。方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处•此吋甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏％75「的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1）甲船从C处追赶上乙船川r多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？分析:解决这一问题时，学生没能认识到这一图形实际上是基本图形的一种变形，位置发生了改变，问
7、题中隐含着两个特殊角，即zACB二45。，zB=30°，依据这两个特殊角过点A作AD丄BC于D,把△ABC转化成两个直角三角形，从而归类为熟悉的情形。（五）利用边构造有关系的两个直角三角形例&如图8,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60。角，在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号X分析:根据实际情形构造出两个直角三角形,这两个直角
