自动控制原理 978-7-302-16025-0 第8章离散控制系统

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1、第8章离散控制系统本章重点内容：离散控制系统概念Z变换及其应用离散控制系统数学描述离散控制系统性能分析8.1引言含有在时间上离散的信号的控制系统就是离散系统。例如图8-1所示成分控制系统，由于色谱分析需要一定时间，因此色谱只能每隔一定时间采样一次，控制器得到的不是关于受控对象的连续信息，而是在时间上的离散信息。图8-1色谱采样的成分控制系统图8-2计算机控制系统的基本组成图8-3计算机控制系统的工作流程示意图图8-4计算机控制系统的方块图图8-5采样环节的简化图8-6计算机控制系统方块图图8-7计算机控制多路控制系统8.2信

2、号的采样与复现把连续信号变为脉冲或数字序列的过程叫做采样(sample)。实现采样的装置称为采样器，又名采样开关。反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号(continuous-timesignal)的过程称为信号的复现。图8-8信号的采样图8-9信号的采样(8-1)(8-2)图8-10采样脉冲的调制过程考虑到当时，这一事实，式(8-2)便简化为式中，表示脉冲产生的时刻(采样时刻)；为kT时刻的脉冲强度。必须指出，上述把窄脉冲信号当作理想脉冲信号处理是近似的，也是有条件的，即要求采样的持续时间τ要远小于采样周期T和系统中受控对

3、象的最小时间常数。这一要求在一般的系统中都能得到满足。(8-3)8.2.2采样定理由图8-10可直观地看出，采样周期T越小(采样频率越高)，离散信号越接近于连续信号；反之，若T过大(采样频率越低)，则就不能准确地反映的变化，即由无法真实地复现连续信号。为使离散信号能不失真地恢复为连续信号，应采用多高的采样频率呢？这就是下述香农定理的内容。(8-4)(8-5)(8-6)(8-7)图8-11和的频谱(8-8)若把送到具有图8-12所示特征的理想滤波器的输入端，则其输出就是原来的连续信号。如果ωs＜2ωmax，则就会出现图8-13

4、所示的相邻频谱重叠的现象。图8-12理想滤波器特性图8-13时的频谱保持器是一种时域的外推装置，即按过去或现在时刻的采样值进行外推。通过把按常数、线性函数和抛物线函数外推的保持器分别称为零阶、一阶、二阶保持器。由于一阶和二阶保持器的结构复杂，而且在采样频率足够高的情况下，它们的性能并不比零阶保持器具有明显突出的优点。因此，这里只讨论零阶保持器，并用符号ZOH来表示。图8-14零阶保持器的输出特性(8-9)(8-10)(8-11)图8-15ZOH的幅频特性和相频特性图8-16由ZOH恢复的信号8.3z变换与z反变换z变换是分析

5、离散控制系统的一种常用方法，它是由拉氏变换演变而来的。和线性连续控制系统的传递函数一样，用z变换导出离散控制系统的脉冲传递函数同样成为研究这种系统的一种非常有效的数学工具。由于上式中的是s的初等超越函数，它不便于直接计算，为此引入一个新的变量，于是式(8-11)就改写为式(8-13)定义为离散信号的z变换，并记为(8-13)(8-14)必须注意，表示对离散信号(discretesignal)的z变换，它只表征连续信号在采样时刻的信息。由于习惯上的原因，人们也称是或的z变换。但其含义是指离散信号的z变换。与一一对应，但是与不是

6、一一对应，只要在采样时刻函数值相等，z变换就相同。图8-17和的采样值相同下面介绍三种常用的求取z变换的方法。1.级数求和法如果已知连续函数在各采样时刻的采样值，就可以按式(8-14)写出其z变换的级数展开式。由于该级数具有无穷多项，如果不把它写为闭合形式，则难于应用。不过，在一定的条件下，常用函数z变换的级数展开式都能写为闭合形式。(8-15)(8-16)2.部分分式法设的拉氏变换为将上式展开为部分分式和的形式，即例8-4求。解：因为又所以(8-19)3.留数(residue)计算法设的拉氏变换为，且其为真有理分式，令为的

7、极点，则的z变换可通过计算下列的留数求得，即(8-20)式中，为在上的留数。(8-22)(8-23)(8-24)(8-25)证明：由z变换的定义得(8-26)(8-27)5.复数位移定理设，则证明：由z变换的定义得令，则上式改写为(8-28)6.卷积和定理设、和的z变换分别为、和，且当时，。已知则(8-29)8.3.3z反变换上述把采样信号变换为的过程称为z变换；反之，把变换为的过程叫做z的反变换(inversez-transform)，并记为显然，由z反变换求得的时间函数是离散的，而不是连续函数。常用的z反变换求法有三种。

8、(8-30)2.部分分式法用部分分式法求z反变换，与用部分分式法求拉氏变换的思路相类似。由于的分子中通常含有因子z，为方便起见，通常先把除以z，然后再将展开为部分分式。对于式(8-30)所示的，用部分分式法取z反变换的步骤是：(1)将分母的多项式分解为因式。(2)把展开为部分分式，使所求部