自动控制原理 978-7-302-16025-0 第3章控制系统的时域分析[3.4]

《自动控制原理 978-7-302-16025-0 第3章控制系统的时域分析[3.4]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.4线性系统的稳定性分析常用词汇稳定性stability必要条件necessarycondition充分条件sufficientcondition一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、稳定措施是控制系统的重要内容。本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响。线性控制系统稳定性的定义为：线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定；若在初始扰动下，其动

2、态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定；若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。临界稳定marginallystable/criticalstable稳定性是表征系统在扰动撤消后自身的一种恢复能力，因而它是系统的一种固有的特性。指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。3.4.1线性系统稳定的充要条件（sufficientandnecessarycondition)由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动情况，它与

3、系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描述。如果脉冲响应函数是收敛的，即有(3-52)表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数收敛是一致的。如果(3-53)则系统是不稳定的。如果(3-54)则系统是临界稳定的。由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏变换。令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则其传递函数可写为(3-55)式中，式(3-55)用部分分式展开，得对上式取拉氏反

4、变换，求得系统的时域脉冲响应为t≥0(3-56)由式(3-56)可见，若系统的特征根全部为负实部(negativerealpart)根，则式(3-52)成立，系统稳定；若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式(3-53)成立，系统不稳定；若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，式(3-54)成立，系统临界稳定。虚部imaginarypart负实部negativerealpart复数根complexroot实根realroot综上所述，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的

5、所有根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。右半平面right-halfplane左半平面left-halfplane注意：对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。3.4.2系统稳定的必要条件令系统的特征方程为(3-57)如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。稳定的必要条件（依系数判稳）：在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数

6、。设–P1、–P2、…为实数根。、、…为复数根。其中，P1、P2、…和、、…都为正值，则式(3-57)改写为即(3-58)因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有系数为零项。反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复数根，则由式(3-58)可知，对于方程式s的各次项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳

7、定的必要条件，而非充分条件。3.4.3劳斯稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号（间接的方法）。设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表由劳斯表的结构可知，劳斯表有行，第一、二行各元素是特征方程的系数，

8、以后各元素按劳斯表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：(1)如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在s的左半平面(left-halfplane)，相应的系统是稳定的。(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在的s右半平面(righ