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《小波分析之泛函分析距离空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、泛函分析距离空间定义?设X是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都对应唯一的实数ρ(x,y)，并满足以下三条公理：1.非负性：ρ(x,y)≥0,ρ(x,y)=0当且仅当x=y;2.对称性：ρ(x,y)=ρ(y,x)；3.三角不等式；对任意的x,y,zρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y),则称ρ(x,y)为x与y间的距离（或度量），并称X是以ρ为距离的距离空间(或度量空间),记为(X,ρ)．距离空间的例--欧氏空间实数集的通常意义的欧氏距离为n维欧氏空间的通常意义的欧氏距离为实数集的另一距离实数集上还有另一距离为但约定:在提到实数集上的距离时,仅指通常的欧氏距离.作业
2、1:证明是距离空间.距离空间的例—C[a,b]C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数的集合，约定C[a,b]上的距离仅指距离空间的例—Lp[a,b]空间对于任实数Lp[a,b]表示区间[a,b]上绝对值的p次幂L可积函数的全体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数,即Lp[a,b]上的距离为其特例为L[a,b],L2[a,b].距离空间的例—表示满足的实数列(即平方可和数列)的全体，上的距离定义为作业2:证明:若则作业3:证明:若则为距离空间吗?为什么不考虑距离空间的邻域概念在距离空间X中,集合称为点在集合X中引入距离后，即引入了拓扑结构,可以开展极限,连续等概念的研究
3、.拓扑学即研究一般点集上的极限,连续等概念,在其上可以没有距离概念,只需给定邻域系,或开集系,或闭集系即可.距离空间中的内点内部与开集则称为A的一个内点.由A的全体内点所成的集称为A的内部,记为若A中的每个点都是A的内点,则称A为开集.(规定空集是开集).开集及性质(i).空集∅和全空间Rn是开集.(ii).任意个开集的并集是开集.(iii).有限个开集的交集是开集.聚点,导集,闭集与闭包若对任意中包含有A的无限多个点,则称为A的一个聚点.由A的所有聚点形成的集合称为A的导集,记为.若则称A为闭集.集称为A的闭包,记为闭集的性质(i).空集∅和全空间Rn是闭集.(ii).任意个闭集
4、的交集是闭集.(iii).有限个闭集的并集是闭集.(ⅳ).A为闭集当且仅当Ac(即A的余集)为开集.(ⅴ).A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于A.距离空间的收敛概念距离空间中的点列称为收敛于点若与其它收敛概念联系起来时,又称为依距离收敛,或按距离收敛.仍记为收敛点列若为无穷点集,则其极限点必为聚点!反之,聚点必为极限点!实数列的收敛即依距离收敛实数列的即为依欧氏距离收敛,即距离空间的收敛性质在距离空间中，收敛点列的极限是唯一的.距离函数是二元连续函数,即收敛点列必有界,即距离空间的Cauchy列距离空间中,点列称为Cauchy列,或基本列，若问题:Cauchy列会不会不
5、收敛?任收敛点列必为Cauchy列.但有的距离空间中Cauchy列不一定收敛到本空间的点,如:有理数空间Q中,的有理逼近数列为Cauchy列,但其极限不在有理数域中.距离空间的完备性在距离空间中,若任一Cauchy列都在空间中有极限,则称该距离空间是完备的。在完备的距离空间中,收敛点列与Cauchy点列是等价的.距离空间的完备性在距离空间中，收敛是用距离来定义的，在同一个集合中可以定义不同的距离，因此，同一个集合可以对一种距离成为完备的,而对另一种距离却成为不完备的.C[a,b]在不同距离下的完备与不完备C[a,b]在约定的距离下是完备的.即闭区间[a,b]上的连续函数序列若一致收
6、敛于一个函数,则该函数一定也是连续函数.C[a,b]在不同距离下的完备与不完备定义在[a,b]上的所有连续函数的集合在距离下不完备.Lp[a,b]是完备距离空间.C[a,b]在不同距离下的完备与不完备C[0,2]在距离下不完备的例子(作业4:证明该例子在一致距离下不为Cauchy列)完备子空间与闭集的关系完备空间的任何闭子集都是完备的子空间.任一距离空间的完备子空间都是闭集.等距映射设都是距离空间，如果存在映射则称T为等距映射.距离空间的稠密性设A,B为距离空间(X,ρ)中的两个集合，若对任意的x∈A，总存在yn∈A，使得yn→x，则称B在A中稠密.例子?有理数集Q在实数集R中稠密
7、.?多项式集P在连续函数集C[a,b]中稠密.Weierstrass定理多项式逼近基本定理：设,则对任何，总存在某n及n次多项式,使即：C[a,b]上任一函数都可被某一多项式函数(事先不能限定次数)一致逼近到任意程度。距离空间的可完备化定理对于每个距离空间X，必存在一个完备的距离空间X0,使得X等距于X0中的一个稠密子空间.称X0为X的完备化空间.若除去等距不计，则X0是唯一的。在完备化距离空间时，实际上是把所有原来的Cauchy点列的极限点都“扩充”进来.距离空间的
