小波分析之泛函分析赋范内积空间..ppt

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1、赋范线性空间,内积空间范数与赋范线性空间?设X是实(或复)线性空间，如果对于X中每个元素x，按照一定的法则对应于实数

2、

3、x

4、

5、，且满足：?

6、

7、x

8、

9、≥0，

10、

11、x

12、

13、=0当且仅当x=0;?

14、

15、ax

16、

17、=

18、a

19、

20、

21、x

22、

23、，a是实(或复)数;?

24、

25、x+y

26、

27、≤

28、

29、x

30、

31、+

32、

33、y

34、

35、.则称X是实(或复)赋范线性空间，

36、

37、x

38、

39、称为x的范数.范数、距离之间的关系由每一范数可以导出一距离：当距离空间满足(1)是线性空间,(2)(3)时,才可用距离定义范数：C[a,b]的距离与范数C[a,b]的约定的距离是由范数决定的.

40、Lp[a,b]的距离与范数对于任实数Lp[a,b]表示区间[a,b]上绝对值的p次幂L可积函数的全体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数,即Lp[a,b]上的距离为其特例为L[a,b],L2[a,b].Lp[a,b]的距离与范数Lp[a,b]上的距离是由范数决定的.其特例L[a,b],L2[a,b]亦然.的距离与范数表示满足的实数列(即平方可和数列)的全体，上的距离是由范数决定的。Banach空间若赋范线性空间按距离是完备的，则称为Banach空间.n维Euclid空间Rn是Banach空间.C[a,b

41、]是Banach空间.Lp[a,b](p≥1)是Banach空间.是Banach空间.按范数收敛(强收敛)按范数收敛即按范数决定的距离的收敛，又称强收敛.不同范数的等价性设是同一线性空间上的两种不同的范数,若则称线性空间的维数若线性空间X中存在n个线性无关的元素e1,e2,…,en,使得任意的x∈X都可以唯一的表示为则称{e1,e2,…,en}是x的基底，数组{x1,x2,…,xn}是x关于基底的坐标，n是线性空间的维数.线性空间的维数有限维线性空间与Euclid空间是线性同构的.有限维赋范线性空间上的范数

42、定义是等价的.有限维赋范线性空间是完备，可分的.例子：Ck[a,b]是Banach空间?Ck[a,b]表示定义在区间[a,b]上k阶连续可导的函数全体.Ck[a,b]上的范数为赋范线性空间上的算子设T是由赋范线性空间X中的某个子集D到赋范线性空间X1中的一个映射,则称T是算子.D是T的定义域，记为D(T)，像集{y

43、y=Tx,x∈D}是T的值域,记为N(T).若T满足?可加性：T(x+y)=Tx+Ty?齐次性：T(ax)=aT(x)则称T为线性算子.若存在正数M使得对于一切x∈D(T)，有

44、

45、Tx

46、

47、≤M

48、

49、

50、x

51、

52、，则T是有界算子.线性算子的性质线性算子若在某一点处连续，则也在定义域上处处连续.T是有界线性算子等价于T是连续线性算子.T有界的充要条件是T把任一有界集映成有界集.有界线性算子空间设X和X1都是赋范线性空间,所有从X到X1的有界线性算子形成的集合记为B(X,X1).在B(X,X1)上定义加法和数乘运算：(T1+T2)x=T1x+T2x(T1,T2∈B(X,X1)，x∈X).(aT)x=a(Tx)(T∈B(X,X1)，a是实数).有界线性算子空间定理：B(X,X1)按照以上定义的线性运算是一个线性空

53、间,且在如下定义的算子范数下构成赋范线性空间.有界线性算子空间定理：若X是Banach空间，则B(X,X1)也是Banach空间.T为线性算子，则T有界的充要条件为有界.共鸣定理设X和X1都是赋范线性空间,且X是Banach空间.{Tn}是从X到X1的线性算子序列,则对任意x∈X，{Tnx}有界的充要条件为有界。(证明从略)此定理又称为一致有界定理.共鸣定理的意义即:对于线性算子序列，若代入每一个值都有界，则有界线性算子序列本身有界。有界线性算子空间定理：可逆有界线性算子的逆算子仍是线性算子.有限维赋范线性

54、空间的一切线性算子都有界(连续).泛函当算子的像集为实（或复）数域时，称算子为泛函.类似有线性泛函、连续泛函、有界线性泛函等.泛函的例：赋范线性空间上的范数是一个泛函,且是连续泛函,但不是线性泛函,其算子范数为1,故为有界泛函.泛函的例在C[a,b]上,对每一函数取定积分的运算是一有界线性泛函.泛函的性质f是线性泛函,f有界的充要条件是f的零空间为完备子空间.对于Rn上的任一有界线性泛函f，必存在唯一的使得对任何都有泛函的性质(延拓定理)设E为赋范线性空间，L为E的线性子空间，则L上的任一有界线性泛函f都可

55、以延拓到全空间E上，且保持范数不变.元素序列的不同的收敛方式按范数收敛即按范数决定的距离的收敛，又称强收敛,记为?称元素序列{xn}弱收敛于元素x，若对任一有界线性泛函f都有且记为算子的不同收敛方式设Tn,T∈B(X,X1)(n=1,2,…)若

56、

57、Tn-T

58、

59、→0,称Tn按算子范数收敛于T(或称Tn一致收敛于T),记为若对于任意的x，均有

60、

61、Tnx-Tx

62、

63、→0，则称Tn强收敛于T,记为算子的不同收敛方式设Tn,