泛函分析第4章内积空间

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1、WORD资料下载可编辑第四章内积空间在第三章中，我们把维空间中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。4.1内积空间的基本概念首先回忆几何空间中向量内积的概念。设，，设与夹角为，由解析几何知识可得其中，，令，称为与的内积，不难证明它有如下性质：（1）（2）（3）（4）注：由定义可得，我们看到，两个向量的夹角仅与向量的内积有关。利用内积我们可

2、以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。现在我们引入一般的内积空间的概念。【定义4.1】设为数域上线性空间，若对任两个元素（向量），，有惟一中数与之对应，记为，并且满足如下性质：（1）（2）专业资料分享WORD资料下载可编辑（3）（4）则称为与的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当为实数域（或复数域），叫为实（或复）内积空间。注:由性质（3）与性质（4）知，内积运算关于第一变元是线性的。由性质（2）与性质（4）可推知.于是当为内积空间时，内积关于第二个变元也是线性的。而常称为共轭齐次性，因此在为赋内积空间时，内积是共轭线性的。今后讨论

3、中不加注明时，恒设为复内积空间。【引理4.1】（Schwaraz不等式）设为内积空间，对任意，，成立不等式证明：若，则任，有，则显然不等式成立。现在设，则，有取代入上式可得，由此可得证毕。【定理4.1】设为内积空间，对任，令，则是的范数。证明：因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。事实上故有.证毕。注：常称专业资料分享WORD资料下载可编辑为内积导出的范数，于是内积空间按此范数成为一个赋范线性空间。在此意义下，第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间。特别当内积空间按由内积导出的范数

4、完备的，称为Hilbert空间。以下介绍几个常用的Hilbert空间的例子。例4.1表示（实或复）Euclid空间，对于，，类似于几何空间中向量的内积定义，令不难验证成为一个空间。例4.2，当，时，令容易证明成为内积空间。以下证明为Hilbert空间。任取列，则对任当时，有因而有故数列是列，因数域完备，则存在，使，令，则任，当时，有则令，对每个及任，有专业资料分享WORD资料下载可编辑因而，亦有，只要，所以，注意是线性空间，则，且，，这即表明在中收敛，故为Hilbert空间。例4.3为有限或无穷区间，对任，定义内积这里中的元素是实值或复值

5、二次可积函数，也不难验证是内积空间。现在证明是Hilbert空间。设为列，则对每个，存在自然数，有对任有限区间，由不等式，有式中，为的长度。故级数收敛，于是由引理（见第一章）我们有专业资料分享WORD资料下载可编辑从而知是集上可积函数，则比在上为处处有限函数，即级数在上几乎处处收敛，而为中任意有限区间，则级数在上几乎处处收敛，因而级数在上几乎处处收敛，亦即函数在上几乎处处收敛于函数.现在证明，且.对任意，因为中列，则存在，当时，有，即令，利用第一章积分的性质，得到即，且，因此.因此列在中收敛，故是Hilbert空间。（1）内积的连续性。设

6、，则有证明：由不等式，得因收敛有界。证毕。（2）极化恒等式。对内积空间中元素与，成立证明可直接运用范数的定义和内积的性质得到。留给读者作为练习。专业资料分享WORD资料下载可编辑注：当为实数内积空间时，则极化恒等式为（1）中线公式。对内积空间中元素与，成立证明：证毕。注：也常称中线公式为平行四边形公式。因在平面中，平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和。另外，可以证明中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质，即当为赋范线性空间时，若对其中任何元素与关于范数成立中线公式，则必在中可定义内积，使范数可由此内积导出。也就是一

7、个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式。因此，内积空间是一类特殊的赋范线性空间。例如，当且时，不是内积空间。因为，取，，则，且，显然不满足中线公式。又例如，按范数不是内积空间。这只要取，及，，则，且，明显不满足中线公式。再例如，当且时，也不是一个内积空间。习题4.1专业资料分享WORD资料下载可编辑1.证明：Schwarz不等式中等号成立与线性相关。2.设为实内积空间，，若，证明：.若，所证明事实有什么几何意义？3.设为内积空间，，若对任何，有，试证明.4.设为Hilbert空间，，求证的充要条件是，且.5.验证极化恒等式

8、。6.设是维线性空间的一组基，对于，有惟一表示，其中，求证是上一个内积的充要条件是存在正定矩阵，成立4.2内积空间中元素的直交与直交分解4.2.1直交及其性质仿照中两个向量的直交概念，我们有如