euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广

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1、Euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广摘要：本文在一般意义上讨论了Euclid空间上的线性泛函，寻找到了它能用内积来刻画的充要条件，并将结论进一步推广到双线性函数的情形，最后说明了本文的主要结论与F.Riesz定理关系.本文得到的主要结论是：是Euclid空间上的线性泛函，则下列条件是等价的：1）存在唯一的,使得,有；2）或；3）.关键词：Euclid空间；内积；线性泛函；双线性函数；零空间ThedepictionandfurthergeneralizitionoflinearfunctioninEucclidSpaceAbstrac

2、t:Inthispaper,wegenerallydiscusslinearfunctioninEuclidspace,foundoutthenecessaryandsufficientconditionsthatcanbedepictedbyinner-product.Furthergerneralizethoseresultstodobublelinearfunction.Atlast,weillustratetherelationbetweentheresultsofthepaperandtheoryofF.Riesz.Themain

3、resultofthispaperis:islinearfunctioninEuclidspace,thentheconditionsonthefollowingareequal.1)thereexistsonly,let,wehave2)or；3).Keywords:Euclidspace;Inner-product;Linearfunction;Dobublelinearfunction;Zero-space目录0引言……………………………………………………………………………3-4131预备知识及引理………………………………………………

4、………………4-52主要结果………………………………………………………………………5-132.1Euclid空间上线性泛函的内积刻画……………………………………5-92.2Euclid空间上不能用内积刻画的线性泛函的存在性………………9-102.3双线性函数的内积刻画………………………………………………10-13参考文献…………………………………………………………………………13致谢…………………………………………………………………………………130引言Cauchy曾用函数方程给出了实数域上的线性函数的公理化定义，该定义基于以下命题得到：1

5、3命题1设是实数域到的一个连续函数，若对，有，则，这里为常数.美国数学家K.Gabriel在他的著作中取消了命题“是连续函数”这一假设，并利用连续函数的延拓原理进行了新的证明.把线性函数这一概念拓广到一般的线性空间上，就是如下：定义1设是数域上的一个线性空间，映射称为上的线性函数，如果满足1）；2），式中是中任意元素，是中任意数.在上述定义中当为实数域或复数域时，我们也把称为上的线性泛函.在三维几何空间中，当为常向量，而为变向量时，数量积（内积）可视为函数，容易验证是一个线性泛函.推广到一般的内积空间，记是中任意向量，是中一固定向量，易证是

6、上的一个线性泛函.F.Riesz考虑了以上问题在一般意义上的逆命题，对Hilbert空间上的连续线性泛函进行了一般性的刻画：F.Riesz定理设是Hilbert空间上的一个连续线性泛函，则必存在唯一的，使得，有.本文将在一般意义上考虑内积空间上的线性泛函，研究在怎样的情形下，内积空间上的线性泛函才能用内积来刻画，这种刻画是否唯一，并将结论进一步推广到双线性函数的情形.在本文中用表示内积，表示实数域，表示正整数集，表示的维数，表示范数，表示正交，表示直和，表示生成子空间.1预备知识及引理定义2是数域上的线性空间，是上的线性函数，称13为在上的

7、零空间，简称的零空间.容易验证，是的子空间.定义3和是数域上的两个线性空间，是的映射，如果满足1)；2)，其中是中任意向量，是中任意向量，是中任意数，则称是一个双线性函数.在定义3中，如果，我们在习惯上也称是上的双线性函数.定义4和是数域上的两个线性空间，为到的映射，如果及数，有1)；2)，则称为到的线性算子.特别地，在定义4中，当时，就是定义中所说的上的线性函数；当时，就是的线性变换.引理1是内积空间的闭子空间，则对每个，存在唯一的，使得，这里的范数是的内积导出的范数，是与的距离.引理2是内积空间的子空间，，若，使得，那么，.引理1与引理

8、2的证明在文献[3]中有详细的论述，为避免累赘，我们在这里省略掉这部分过程.2主要结果2.1Euclid空间上的线性泛函的内积刻画定理13F.Riesz定理指出Hilbert空间