泛函分析第章_度量空间与赋范线性空间

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1、第二章度量空间与赋范线性空间第2章度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是维欧几里得空间的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。2.1度量空间的基本概念2.1.1距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了上现有的距离函数，即对。度量是上

2、述距离的一般化：用抽象集合代替实数集，并在上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。【定义2.1】设是一个非空集合，：是一个定义在直积上的二元函数，如果满足如下性质：（1）非负性；（2）对称性（3）三角不等式；则称是中两个元素与的距离（或度量）。此时，称按成为一个度量空间（或距离空间），记为。注：中的非空子集，按照中的距离显然也构成一个度量空间，称为的子空间。当不致引起混淆时，可简记为,并且常称中的元素为点。例2.1离散的距离空间设是任意非空集合，对中任意两点令显然，这样定义的满足距离的全部条件，我

3、们称是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分中任意两个元素是否相第二章度量空间与赋范线性空间同，不能区分元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例2.2维欧几里得空间表示维向量的全体组成的集合，也表示个实数组成的数组的全体形成的集合。对，，定义（2.1）下面来证满足度量定义中的条件（1）~（3）。由式（2.1）不难验证满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用时的离散型Minkowski不等式（见1.5节）。取，则有因此，是一距离空间。称为维欧氏空间。注：

4、若在中规定（2.1ˊ）则也是距离空间（读者自己验证）例2.3所有数列组成的集合，对定义（2.2）那么是上的度量。式（2.2）通常称为Fréchet组合。显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也第二章度量空间与赋范线性空间满足条件（3）。事实上，对及由于函数是单调增函数，因此由得在上市不等式两边同乘再求和，便得因此是距离空间。例2.4连续函数空间对定义（2.3）则是上的一个度量。显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数由所以例2.5函数类（参见1.6节）,对定义（2.4）则是上的一个度量，是度量空间。

5、由根据Lebesgue积分的性质有。反之，若，则。所以，满足度量定第二章度量空间与赋范线性空间义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；对另一函数，根据1.6节Minkowski不等式有即满足度量定义条件（3），所以是上的一个度量，是度量空间。例2.6是本性有界可测函数的全体，即上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对定义（2.5）则是上的一个度量，是度量空间。由式（2.5）显然可知，满足度量条件（1）~（2）。现证满足度量条件（3），对及存在且使从而有令得。所以是上的一个度量，是度量空间。2

6、.1.2距离空间中点列的收敛性非空集合引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。【定义2.2】设是一个度量空间，称点列收敛于第二章度量空间与赋范线性空间，是指叫做点列的极限，记作或。度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。【定理2.1】度量空间中的收敛点列的极限是唯一的，且若收敛于则的任意子列也收敛于。证明：首先证明定理的第一部分。设都是的极限，则对有令有必然有因此这说明最多有一个极限。其次证明定理的第二部分。设收敛于，于是，存在自然数，当时，。由于，从而当时，也有故收敛于。证毕。下

7、面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。例2.7空间中点列按度量式（2.1）收敛于的充分必要条件是对每个有，即按坐标收敛。证明：对，由于因此，当时，一定有，。由于第二章度量空间与赋范线性空间所以，对，当时。证毕。同样我们也可以证明中点列按距离式（2.1′）收敛于的充要条件是对于每个，有。例2.8空间中点列按式（2.3）度量收敛于的充分必要条件是在上一致收敛于。证明：由知对当时，即对任意当时，所以在上一致收敛于。若在上一致收敛于，则对当时，对于恒有从而即。证毕。若按式（2.4）定义度量，则就构成的子空间，令由

8、勒贝格控制收敛定理，在中收敛于显然但不一致收敛于。例2.7，例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。习题2.11．对，定义是上的距离吗？若是，给出证明，若不是，为什么？2．对，规定证明是距离空间。3．把所有收敛数列的集合记为，对定义证明第二章度量