泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间

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1、第2章度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是料维欧几里得空间疋的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。2.1度量空间的基本概念2.1.1距离(度量)空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d,即对兀刃=

2、兀-)：

3、。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集,并

4、在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。【定义2.1】设X是一个非空集合，/?(•,•):XxXt[0,oo)是一个定义在直积XxX上的二元函数，如果满足如下性质：(1)非负性x,yeX,p(x,y)>0,y=0x=y；(2)对称性wX,p(x,y)=p(y,x)(3)三角不等式兀,y,zwX,p(兀，刃

5、称为X的子空间。当不致引起混淆时，(X,p)可简记为X,并且常称X屮的元素为点。例2・1离散的距离空间设X是任意非空集合，对X中任意两点兀,ywX,令[1ypgy)=a[0兀=y显然，这样定义的/?(•,•)满足距离的全部条件，我们称(XQ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例2.2&维欧几里得空间疋表示兀维向量"（"，…，百）的全体组成的集合，也表示兄个实数兀

6、,兀2，…心组成的数组（西,兀2,…心）的全体形成的集合。对(

7、2.1)兀二（兀1，兀2,•••,£），y二（）［,〉‘2，・・・，yjw/?〃，定义pgy）二为（兀•-牙尸/=

8、下面来证/?（•,•）满足度量定义中的条件（1）〜（3）o由式（2.1）不难验证/?（•,•）满足条件（1）,（2）o为证满足条件（3）,需利用p=2时的离散型Minkowski不等式（见1.5节）。取Z=（Z］,Z2,…，zjw川，则有P（兀,y）=工（兀-沙二｛工［（兀-zj+（z’-x）］£匕-牙)2/=!立兀-Zj?/=1=p(x,z)+p(z,y)因此，川是一距离空间。（RS称为n维欧氏空间。注：若在/?"中规定p、（x,

9、y）=maxx.-yi（2.1"）则（r,p.）也是距离空间（读者自己验证）例2.3所有数列组成的集合S,对§=｛色｝,〃=｛仇｝€$,定义81P"电刁z-b”an~bn(2.2)那么p©C是S上的度量。式（2.2）通常称为Frechet组合。/?（§,〃）显然满足度量条件（1）-（2）,我们来证也满足条件（3）o事实上，对及/=由于函数处0=丄(x>0)是单调增函数，因此由1IX色一仇

10、§,77)5°(§,力+/?(%〃)因此(S,p)是距离空间。例2.4连续函数空间C[a,b],对/,gwC[诃定义p(.f,g)=maxf(t)一g(f)

11、(2.3)a

12、/(r)-h(t)+1^)-g(t)a

13、5函数类Lp(E)(P>l)(参见1.6节)，对f,geLp(E)定义丄pSg)=(J」m)-g(r)

14、"町(2.4)则Pfg)是〃(E)上的一个度量，(厶"(E),p)是度量空间。丄由pg)=0二£(

15、/(r)-g(t)pdty=0根据Lebesgue积分的性质有f(t)=g(t)a-eo反之，若f(t)=g(t)a-e,则p(/,g)=O。所以，p(f.g)满足度量定义2.1中条件(1)；条件(2)显然满足;对另一函数/疋厶"(E),根据1.6节Minkowski不等式有P(fyg)=

16、

17、/-g

18、

19、p§

20、

21、/一州〃+

22、

23、力-g

24、

25、p=p(/

26、,h)+p(h,g)即Q(/,g)满足度量定义条件(3),所以p(/,g)是〃(E)上的一个度量,(厶"(E),°)是度量空间。例2.6