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《人教版初中数学第十七章勾股定理知识点》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十七章勾股定理17.1勾股定理1、勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为4、b,斜边长为C,那么a2+b2=c2勾股定理的证明:方法一:+S正方形efgh=S正方形abcd,^^-ab+(b-a)2=c~»化间可证•方法二四个直角三角形的而积与小止方形而积的和等于大止方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4x丄"+圧=2"+圧2大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2=c2方法三:S梯形=*(a+Z?).(a+Z?)‘Sm=2SMDE+SMBE=2-^ab+^c2,化简得证17.2勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足
2、a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数:能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即+b2=c2中,a,b,c为正整数吋,称a,b,c为一组勾股数常见的勾股数有:3、4、5;6、8、10;5、12、13;7、24、25等例、在RtAABC中,a=3,b=4,求c・错解由勾股定理,得c=V^2+/?2=a/42+32=5诊断这里默认了ZC为直角.其实,题目中没有明确哪个角为直角,当b>a时,ZB可以为直角,故本题解答遗
3、漏了这一种情况.当ZB为直角时,c=y/h2—a2=V42—32=>/7例、己知RtAABC中,ZB=RTZ,h=a/2,c=2a/2,求b.错解由勾股定理,得B={c2—a2-l(2y/2)2—(>/2)2=y/6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2+b2=c2n.殊不知,只有当ZC=RtZ时,a2+b2=c2才能成立,而当ZB=RtZ时,则勾股定理的表达式应为a2+c2=b2.正确解答VZB=RtZ,由勾股定理知a2+c2=b2.b=Jc2+O1=J(2>/^)2+(血)2=V10例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm,则第三边长为.错解设第三边长为xcm.由勾股定理,得x2=6
4、2+82.x=a/62+82=736+64=10即第三边长为10cm.诊断这里在利用勾股定理计算吋,误认为第三边为斜边,其实题设中并没有说明已知的两边为直角边,・・・第三边可能是斜边,也可能是直角边.正确解法设第三边长为xcm.若第三边长为斜边,由勾股定理,得x=a/624-82^=/36+64=10(cm)若第三边长为直角边,则8cm长的边必为斜边,由勾股定理,得x=Vs2—62=/28=2护(cm)因此,第三边的长度是10cm或者2^7cm.12^/3例、如图,已知RtAABC屮,ZBAC=90°,AD是高,AM是屮线,月.AM二一BC=」一AD•又RTAABC23的周长是(6+2>
5、/3)cm.求AD.错解VAABC是直角三角形,•••AC:AB:BC二3:4:5「•AC:AB:BC=3:4:5.・・・AC看6+2外呼,AB令6+2於呻LBC培(6+2济匕护又・・・"gE3+>/36+2>/3AD=AC•ABBCX2315+5巧=(3+孙•爷+舲)二(3+的)(沏5(3+73)5诊断我们知道,“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形,并不能代表一般的直角三角形的三边关系.上述解法犯了以特殊代替一般的错误.正确解法••皿琴血・・・MD二J(
6、屈D)2—AZ)2又VMC=MA,「.CD二MD.•••点C与点M关于AD成轴对称.AAC=AM,AZAMD=60°=Z
7、C.0173AZB=30°,AC=-BC,AB=—BC22ABCM.1bc=^ad,23•••AD==V3(cm)例、在ZSABC中,a:b:c=9:15:12,试判定AABC是不是直角三角形.错解依题意,设a=9k,b=15k,c=12k(k>0).•・•a2+b2=(9k)2+(15k)2=306k2,c2=(l2k)2=144k2,Aa2+b2^c2.AAABC不是直角三角形.诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和,那么这个三角形是直角三角形”•而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下,就盲目套用勾股定理的逆定理.正确解法由题意知b是最长边.设a=9k,b=15k
8、,c=12k(k>0).•・・a2+c2=(9k)2+(12k)2=8lk2+l44k2=225k2.b2=(15k)2=225k2,Aa2+c2=b2.•••△ABC是直角三角形.例、已知在AABC中,AB>AC,AD是中线,AE是高.求证:AB2-AC2=2BC-DE错证如图.VAE丄BC于E,.AB2=BE2+AE2,ac2=ec2+ae2.aab2-ac2=be2-ec2=(BE+EC)・(BE—E